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Exercice 1 - Loi d'un dé truqué [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotés de 1 à 6 et on note X X
la variable aléatoire donnée par le numéro de la face du dessus. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.

1. Déterminer la loi de X X
   , calculer son espérance.
2. On pose Y=1/X Y=1/X
   . Déterminer la loi de Y Y
   , et son espérance.

Indication

1. Utiliser que ∑6 k=1 P(X=k)=1∑k=1 6 P(X=k)=1
   , pour déterminer la loi de X X
   .
2. P(Y=1/k)=P(X=k)P(Y=1/k)=P(X=k)
   .

Corrigé

1. X X
   prend ses valeurs dans {1,…,6}{1,…,6}
   . Par hypothèse, il existe un réel a a
   tel que P(X=k)=k a P(X=k)=k a
   . Maintenant, puisque P X P X
   est une loi de probabilité, on a : 6∑k=1 P(X=k)=1⟺a 6×7 2=1⟹a=1/21.∑k=1 6 P(X=k)=1⟺a 6×7 2=1⟹a=1/21.
   On a donc : k 1 2 3 4 5 6 P(X=k)1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21 k 1 2 3 4 5 6 P(X=k)1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21
   On vérifie aisément en appliquant la formule E(X)=∑6 k=1 k P(X=k)E(X)=∑k=1 6 k P(X=k)
   que E(X)=13 3.E(X)=13 3.
2. On a X=k⟺Y=1/k X=k⟺Y=1/k
   . Y Y
   prend donc ses valeurs dans {1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6}{1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6}
   , et la loi est donnée par : 1/k 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 P(Y=1/k)1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21 1/k 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 P(Y=1/k)1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21
   Le calcul de l'espérance n'est pas plus difficile, et donne : E(Y)=2 7.E(Y)=2 7.
   Attention à l'erreur suivante : ce n'est pas parce que Y=1/X Y=1/X
   que E(Y)=1/E(X)!!!E(Y)=1/E(X)!!!
   .

Exercice 2 - En plein dans le mille! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un joueur tire sur une cible de 10cm de rayon, constituée de couronnes concentriques, délimitées par des cercles de rayons 1,2, ..., 10 cm, et numérotées respectivement de 10 à 1. La probabilité d’atteindre la couronne k k
est proportionnelle à l’aire de cette couronne, et on suppose que le joueur atteint sa cible à chaque lancer. Soit X X
la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le numéro de la cible.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Le joueur gagne k k
   euros s’il atteint la couronne numérotée k k
   pour k k
   compris entre 6 et 10, tandis qu’il perd 2 euros s’il atteint l’une des couronnes périphériques numérotées de 1 à 5. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Indication

1. Calculer l'aire de chaque couronne.
2. Introduire la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, puis calculer l'espérance de cette variable aléatoire.

Corrigé

1. On note A k A k
   l'aire de la couronne k k
   , et A A
   l'aire totale. Par les hypothèses d'équiprobabilité faites dans l'énoncé, on a P(X=k)=A k A P(X=k)=A k A
   pour k k
   compris entre 1 1
   et 10 10
   . Pour la couronne k k
   , le cercle extérieur est de rayon 11−k 11−k
   et le cercle intérieur de rayon 10−k 10−k
   (un petit dessin pourra aider pour faire attention à l'inversion entre l'ordre des cercles et les rayons, et il faut aussi bien faire attention à ce que pour k=1 k=1
   , c'est 11−k=10 11−k=10
   qui donne le rayon de la cible). On a donc, en c m 2 c m 2
   , A k=π((11−k)2−(10−k)2)=π(21−2 k)A k=π((11−k)2−(10−k)2)=π(21−2 k)
   . On en déduit que P(X=k)=21−2 k 100.P(X=k)=21−2 k 100.
2. Notons Y Y
   la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur. Y Y
   prend ses valeurs dans −2,6,7,8,9,10−2,6,7,8,9,10
   . L'événement "Y=−2""Y=−2"
   est égal à l'événement "X≤5""X≤5"
   , et donc P(Y=−2)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=75 100 P(Y=−2)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=75 100
   d'après le résultat de la question précédente. D'autre part, pour k=6,…,10 k=6,…,10
   , on a P(Y=k)=P(X=k).P(Y=k)=P(X=k).
   On en déduit le calcul de l'espérance de Y Y
   : E(Y)=−2×75 100+6×9+7×7+8×5+9×3+10×1 100=3 10.E(Y)=−2×75 100+6×9+7×7+8×5+9×3+10×1 100=3 10.
   L'espérance est positive. Le jeu est favorable au joueur. En moyenne, il peut espérer gagne 0,3 euros par partie.

Exercice 3 - Plus grand nombre tiré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note X X
le plus grand des numéros obtenus. Déterminer la loi de la variable aléatoire X X
.
Indication
Définir un univers adapté à l'expérience aléatoire, et écrire les événements X=k X=k
en fonction des événements élémentaires.
Corrigé
On choisit pour univers Ω={1,…,6}2 Ω={1,…,6}2
que l'on munit de la probabilité uniforme puisque les deux dés sont équilibrés. Remarquons que le cardinal de Ω Ω
vaut 36 36
. X X
prend ses valeurs dans {1,…,6}{1,…,6}
. L'événement X=1 X=1
est égal à {(1,1)}{(1,1)}
et donc P(X=1)=1 36.P(X=1)=1 36.
De même, on a P(X=2)=P({(1,2);(2,1);(2,2)})=1 12 P(X=3)=P({(1,3);(2,3);(3,3);(3,1);(3,2)})=5 36 P(X=4)=P({(1,4);(2,4);(3,4);(4,4);(4,3);(4,2);(4,1)})=7 36 P(X=5)=P({(1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(5,4);(5,3);(5,2);(5,1)})=1 4 P(X=6)=P({(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6,6);(6,5);(6,4);(6,3);(6,2);(6,1)})=11 36.P(X=2)=P({(1,2);(2,1);(2,2)})=1 12 P(X=3)=P({(1,3);(2,3);(3,3);(3,1);(3,2)})=5 36 P(X=4)=P({(1,4);(2,4);(3,4);(4,4);(4,3);(4,2);(4,1)})=7 36 P(X=5)=P({(1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(5,4);(5,3);(5,2);(5,1)})=1 4 P(X=6)=P({(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6,6);(6,5);(6,4);(6,3);(6,2);(6,1)})=11 36.
Exercice 4 - Garagiste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un garagiste dispose de deux voitures de location. Chacune est utilisable en moyenne 4 jours sur 5. Il loue les voitures avec une marge brute de 300 euros par jour et par voiture. On considère X X
la variable aléatoire égale au nombre de clients se présentant chaque jour pour louer une voiture. On suppose que X(Ω)={0,1,2,3}X(Ω)={0,1,2,3}
avec P(X=0)=0,1 P(X=1)=0,3 P(X=2)=0,4 P(X=3)=0,2.P(X=0)=0,1 P(X=1)=0,3 P(X=2)=0,4 P(X=3)=0,2.

1. On note Z Z
   le nombre de voitures disponibles par jour. Déterminer la loi de Z Z
   . On pourra considérer dans la suite que X X
   et Z Z
   sont indépendantes.
2. On note Y Y
   la variable aléatoire : " nombre de clients satisfaits par jour". Déterminer la loi de Y Y
   .
3. Calculer la marge brute moyenne par jour.

Indication

1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par Z Z
   . En déduire la loi de Z Z
   par un simple calcul de probabilité.
2. Calculer la loi de Y Y
   en utilisant la formule des probabilités totales.
3. On cherche simplement 300 E(Y)300 E(Y)
   .

Corrigé

1. Z Z
   est élément de {0,1,2}{0,1,2}
   . On a : P(Z=2)=4 5×4 5=16 25 P(Z=2)=4 5×4 5=16 25
   (les deux voitures sont disponibles). D'autre part, P(Z=0)=1 5×1 5=1 25 P(Z=0)=1 5×1 5=1 25
   (les deux voitures sont simultanément indisponibles). Enfin, on obtient : P(Z=1)=1−P(Z=0)−P(Z=2)=8 25.P(Z=1)=1−P(Z=0)−P(Z=2)=8 25.
   On aurait aussi pu directement remarquer que Z Z
   suit une loi binomiale B(2,4/5)B(2,4/5)
   .
2. Remarquons que Y Y
   est à valeurs dans {0,1,2}{0,1,2}
   . On calcule sa loi en utilisant la formule des probabilités totales. L'événement Y=0 Y=0
   se produit si X=0 X=0
   ou bien si X≥1 X≥1
   et Z=0 Z=0
   . Ces deux événements étant disjoints, on a : P(Y=0)=P(X=0)+P(X≥1∩Z=0)=P(X=0)+P(X≥1)P(Z=0)P(Y=0)=P(X=0)+P(X≥1∩Z=0)=P(X=0)+P(X≥1)P(Z=0)
   (la disponibilité des voitures étant supposée indépendante de l'arrivée des clients). D'où : P(Y=0)=0,1+0,9×(1 5)2=0,136.P(Y=0)=0,1+0,9×(1 5)2=0,136.
   De même, l'événement Y=1 Y=1
   se produit si X=1 X=1
   et Z≥1 Z≥1
   ou bien si X≥2 X≥2
   et Z=1 Z=1
   . On en déduit : P(Y=1)=P(X=1)P(Z≥1)+P(X≥2)P(Z=1)=0,48.P(Y=1)=P(X=1)P(Z≥1)+P(X≥2)P(Z=1)=0,48.
   Enfin, l'événement Y=2 Y=2
   est réalisé si X≥2 X≥2
   et Z=2 Z=2
   . Ceci donne : P(Y=2)=P(X≥2)P(Z=2)=0,6×(4 5)2=0,384.P(Y=2)=P(X≥2)P(Z=2)=0,6×(4 5)2=0,384.
3. La marge brute vaut 300 Y 300 Y
   . La marge brute moyenne par jour est en euros : E(300 Y)=300(0×0,136+1×0,48+2×0,384)=374,4.E(300 Y)=300(0×0,136+1×0,48+2×0,384)=374,4.

Exercice 5 - Analyse de sang [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à dépister une maladie détectable à l'aide d'un examen sanguin. On suppose que dans notre population, il y a une proportion p p
de personnes qui n'ont pas cette maladie.

1. On analyse le sang de r r
   personnes de la population, avec r r
   entier au moins égal à 2. On suppose que l'effectif de la population est suffisamment grand pour que le choix de ces r r
   personnes s'apparente à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'aucune de ces personnes ne soit atteinte de la maladie?
2. On regroupe le sang de ces r r
   personnes, puis on procède à l'analyse de sang. Si l'analyse est négative, aucune de ces personnes n'est malade et on arrête. Si l'analyse est positive, on fait toutes les analyses individuelles (on avait pris soin de conserver une partie du sang recueilli avant l'analyse groupée). On note Y Y
   la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses de sang effectuées. Donner la loi de probabilité de Y Y
   et calculer son espérance en fonction de r r
   et de p p
   .
3. On s'intéresse à une population de n n
   personnes, et on effectue des analyses collectives après avoir mélangé les prélèvements par groupe de r r
   personnes, où r r
   est un diviseur de n n
   . Montrer que le nombre d'analyses que l'on peut espérer économiser, par rapport à la démarche consistant à tester immédiatement toutes les personnes, est égal à n p r−n r n p r−n r
   .
4. Dans cette question, on suppose que p=0,9 p=0,9
   et on admet qu'il existe un réel a>1 a>1
   de sorte que la fonction x↦p x−1 x x↦p x−1 x
   est croissante sur [1,a][1,a]
   et décroissante sur [a,+∞[[a,+∞[
   . Écrire un algorithme permettant de déterminer pour quelle valeur de l'entier r r
   le nombre p r−1 r p r−1 r
   est maximal.

Indication

2. Quelles sont les valeurs prises par Y Y
   ?
3. Utiliser la valeur de l'espérance calculée à la question précédente.

Corrigé

1. On note A i A i
   l'événement "la i i
   -ème personne choisie n'est pas malade". On cherche la probabilité de l'événement A 1∩A 2∩⋯∩A r A 1∩A 2∩⋯∩A r
   . L'énoncé nous dit que P(A i)=p P(A i)=p
   (proportion p p
   de personnes qui n'ont pas la maladie), et que les événements A 1,…,A r A 1,…,A r
   sont mutuellement indépendants (le choix de ces r r
   personnes s'apparente à un tirage avec remise). On en déduit donc que la probabilité qu'aucune des r r
   personnes ne soit atteinte de la maladie est p r p r
   .
2. La variable aléatoire Y Y
   peut prendre deux valeurs : la valeur 1 1
   (l'analyse collective est négative), et la valeur r+1 r+1
   (l'analyse collective est positive, et il faut donc faire également toutes les analyses individuelles). On a de plus P(Y=1)=p r P(Y=1)=p r
   (l'événement {Y=1}{Y=1}
   est aussi l'événement aucune des r r
   personnes n'est malade) et donc P(Y=r+1)=1−p r P(Y=r+1)=1−p r
   . On en déduit que E(Y)=p r+(r+1)(1−p r)=(r+1)−r p r.E(Y)=p r+(r+1)(1−p r)=(r+1)−r p r.
3. Si on analyse immédiatement toutes les personnes, on réalise n n
   analyses. En les regroupant par groupe de r r
   personnes, notons Z Z
   le nombre d'analyses effectuées, et Y 1,…,Y n/r Y 1,…,Y n/r
   le nombre d'analyses effectués sur chacun des n/r n/r
   groupes constitués. Alors d'après la question précédente, on sait que l'espérance de Y i Y i
   est (r+1)−r p r.(r+1)−r p r.
   Le nombre moyen d'analyses que l'on peut espérer réaliser est donc égal à E(Y 1)+⋯+E(Y n/r)=n r((r+1)−r p r).E(Y 1)+⋯+E(Y n/r)=n r((r+1)−r p r).
   Le nombre d'analyses que l'on peut espérer économiser vaut donc n−n r((r+1)−r p r)=n(p r−1 r).n−n r((r+1)−r p r)=n(p r−1 r).
4. On nous demande donc de donner un algorithme qui détermine le maximum d'une suite croissante, puis décroissante. Voici un algorithme sous Python qui fonctionne.

   from math import *
   def maximum():
   r=1
   val=-1
   p=0.9
   while ((pow(p,r)-1/r)>val):
   val=(pow(p,r)-1/r)
   r=r+1
   return r-1

   La variable val contient la plus grande valeur atteinte jusqu'au rang présent. Elle est initialisée à un nombre négatif afin que l'on rentre dans la boucle. Il faut bien afficher r−1 r−1
   et non r r
   , car quand on sort de la boucle, on a dépassé le maximum.

Exercice 6 - Trouver le paramètre d'une loi uniforme connaissant son espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit X X
une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur {0,1,…,a}{0,1,…,a}
, où a∈N a∈N
. On suppose que E(X)=6 E(X)=6
. Déterminer a a
.
Indication
Calculer E(X)E(X)
en fonction de a a
.
Corrigé
On a E(X)=1 a+1(0+1+⋯+a)=a 2 E(X)=1 a+1(0+1+⋯+a)=a 2
. On en déduit donc que a=12 a=12
.
Exercice 7 - Avion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
A A
et B B
sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité p p
de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous? (on discutera en fonction de p p
).
Indication
Noter X X
la variable aléatoire du nombre de moteurs de A A
qui tombent en panne, et Y Y
la variable aléatoire du nombre de moteurs de B B
qui tombent en panne. On arrive à destination si X=0,1 X=0,1
ou si Y=0 Y=0
.
Corrigé
On note X X
la variable aléatoire du nombre de moteurs de A A
qui tombent en panne, et Y Y
la variable aléatoire du nombre de moteurs de B B
qui tombent en panne. X X
suit une loi binomiale B(4,p)B(4,p)
. En particulier, on a : P(X=0)+P(X=1)=(4 0)p 0(1−p)4−0+(4 1)p 1(1−p)4−1=(1−p)4+4 p(1−p)3.P(X=0)+P(X=1)=(4 0)p 0(1−p)4−0+(4 1)p 1(1−p)4−1=(1−p)4+4 p(1−p)3.
D'autre part, Y Y
suit une loi binomiale B(2,p)B(2,p)
. En particulier, P(Y=0)=(1−p)2.P(Y=0)=(1−p)2.
On a intérêt à prendre l'avion A A
si P(X=0)+P(X=1)≥P(Y=0)P(X=0)+P(X=1)≥P(Y=0)
. Ceci donne : p(1−p)2(2−3 p)≥0.p(1−p)2(2−3 p)≥0.
Donc, si 0≤p<2/3 0≤p<2/3
(cas que l'on espère être celui du monde réel), il est préférable de choisir A A
. Si p=2/3 p=2/3
, le choix est indifférent, et si p>2/3 p>2/3
, il vaut mieux choisir B B
.
Exercice 8 - Lancer de pièces [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance n n
fois une pièce parfaitement équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir strictement plus de piles que de faces.
Indication
Utiliser la symétrie entre les piles et les faces! On pourra distinguer les cas où n n
est pair et n n
est impair.
Corrigé
Notons A A
l'événément "obtenir strictement plus de piles que de faces" et B B
l'événément "obtenir strictement plus de faces que de piles". La pièce étant parfaitement équilibrée, par symétrie, P(A)=P(B)P(A)=P(B)
. On distingue alors deux cas :

- n n
  est impair. Dans ce cas, le couple (A,B)(A,B)
  est un système complet d'événements et P(A)=1 2 P(A)=1 2
  .
- n=2 r n=2 r
  est pair. Notons X X
  la variable aléatoire du nombre de piles obtenues. X X
  suit une loi binomiale B(n,1/2)B(n,1/2)
  . On a A=(X>r) et B=(X<r).A=(X>r) et B=(X<r).
  On a donc P(A)+P(B)+P(X=r)=1⟹P(A)=1 2−1 2 P(X=r)=1 2−(2 r r)(1 2)2 r+1.P(A)+P(B)+P(X=r)=1⟹P(A)=1 2−1 2 P(X=r)=1 2−(2 r r)(1 2)2 r+1.

Exercice 9 - Tirage avec remises [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient N N
boules numérotées de 1 1
à N N
. On en tire n n
en effectuant des tirages avec remise. On note X X
et Y Y
le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de X X
et la loi de Y Y
.
Indication
Calculer P(X≥k)P(X≥k)
et P(Y≤k)P(Y≤k)
.
Corrigé
Il n'est pas facile de calculer directement P(X=k)P(X=k)
. En revanche, il est beaucoup plus facile de calculer P(X≥k)P(X≥k)
. En effet, on a X≥k X≥k
si et seulement si tous les tirages ont amené un nombre supérieur ou égal à k k
. La probabilité qu'un tirage amène un nombre supérieur ou égal à k k
valant N−k+1 N N−k+1 N
et les tirages étant indépendants, on a P(X≥k)=(N−k+1)n N n.P(X≥k)=(N−k+1)n N n.
On déduit P(X=k)P(X=k)
par la formule P(X=k)=P(X≥k)−P(X≥k+1)=(N−k+1)n−(N−k)n N n.P(X=k)=P(X≥k)−P(X≥k+1)=(N−k+1)n−(N−k)n N n.
La démarche est similaire pour Y Y
, mais cette fois on calcule P(Y≤k)P(Y≤k)
qui vaut P(Y≤k)=k n N n.P(Y≤k)=k n N n.
Il vient P(Y=k)=P(Y≤k)−P(Y≤k−1)=k n−(k−1)n N n.P(Y=k)=P(Y≤k)−P(Y≤k−1)=k n−(k−1)n N n.
Exercice 10 - Le restaurateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un restaurateur accueille chaque soir 70 clients. Il sait qu'en moyenne, deux clients sur cinq prennent une crème brûlée. Il pense que s'il prépare 30 crèmes brûlées, dans plus de 70\% des cas, la demande sera satisfaite.

1. A-t-il raison?
2. Combien de crèmes brûlées doit-il fabriquer au minimum pour que la demande soit satisfaite dans au moins 90\% des cas.

Indication
Introduire la variable aléatoire égale au nombre de crèmes brûlées commandées chaque soir.
Corrigé
Soit X X
la variable aléatoire comptant le nombre de crèmes brûlées commandées chaque soir. X X
compte le nombre de succès (=crème brûlée commandée) dans la répétition indépendante de 70 épreuves de Bernoulli dont chacune a une probabilité de succès égale à 0.4 0.4
. Ainsi, X X
suit une loi binomiale de paramètre 70 70
et 0.4 0.4
.

1. La demande est satisfaite si X≤30 X≤30
   . On doit donc déterminer si P(X≤30)≥0.7 P(X≤30)≥0.7
   . A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, on trouve facilement que P(X≤30)≃0,73 P(X≤30)≃0,73
   : le restaurateur a raison.
2. On cherche le plus petit entier k k
   tel que P(X≤k)≥0,9 P(X≤k)≥0,9
   . Toujours à l'aide d'un tableur, on constate que P(X≤32)≃0,86 P(X≤32)≃0,86
   et que P(X≤33)≃0,91 P(X≤33)≃0,91
   . Il suffit de préparer 33 crèmes brûlées pour satisfaire la clientèle dans 90\% des cas. Ca vaut peut-être le coup de fabriquer 3 crèmes supplémentaires!

Exercice 11 - Code de la route! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'examen du code de la route se compose de 40 questions. Pour chaque question, on a le choix entre 4 réponses possibles. Une seule de ces réponses est correcte. Un candidat se présente à l'examen. Il arrive qu’il connaisse la réponse à certaines questions. Il répond alors à coup sûr. S’il ignore la réponse, il choisit au hasard entre les 4 réponses proposées. On suppose toutes les questions indépendantes et que pour chacune de ces questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse est p p
. On note, pour 1≤i≤40 1≤i≤40
, A i A i
l'événement : "le candidat donne la bonne réponse à la i i
-ème question". On note S S
la variable aléatoire égale au nombre total de bonnes réponses.

1. Calculer P(A i)P(A i)
   .
2. Quelle est la loi de S S
   (justifier!)?
3. A quelle condition sur p p
   le candidat donnera en moyenne au moins 36 bonnes réponses?

Indication

1. Utiliser la formule des probabilités totales.
2. Reconnaitre une loi classique.
3. C'est une question d'espérance...

Corrigé

1. Notons C i C i
   l'évènement ``le candidat connait la réponse à la i i
   -ème question.''. On a P(A i)=P C i(A i)P(C i)+P¯C i(A i)P(¯C i)=1×p+1 4×(1−p)=1+3 p 4 .P(A i)=P C i(A i)P(C i)+P C i¯(A i)P(C i¯)=1×p+1 4×(1−p)=1+3 p 4 .
2. Les questions étant toutes indépendantes, on est en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable S S
   qui compte le nombre de bonnes réponses suit une loi binomiale de paramètres 40 et 1+3 p 4 1+3 p 4
   .
3. L'espérance de S S
   vaut E(S)=40 1+3 p 4=10(1+3 p)E(S)=40 1+3 p 4=10(1+3 p)
   . On a donc E(S)≥36 E(S)≥36
   si et seulement si 10(1+3 p)≥36 10(1+3 p)≥36
   , ce qui revient à dire p≥13 15 p≥13 15
   .

Exercice 12 - Minimum et maximum de deux dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés équilibrés, on note U 1 U 1
et U 2 U 2
les variables aléatoires correspondant aux résultats obtenus. On appelle X=min(U 1,U 2)X=min(U 1,U 2)
et Y=max(U 1,U 2)Y=max(U 1,U 2)
.

1. Donner la loi de X X
   . En déduire E(X)E(X)
   .
2. Exprimer X+Y X+Y
   en fonction de U 1 U 1
   et U 2 U 2
   . En déduire E(Y)E(Y)
   .
3. Exprimer X Y X Y
   en fonction de U 1 U 1
   et U 2 U 2
   . En déduire Cov(X,Y)Cov(X,Y)
   . X X
   et Y Y
   sont-elles indépendantes?

Indication

1. Écrire l'événement X=i X=i
   comme réunion de trois événements disjoints.
2. (X,Y)(X,Y)
   est une permutation de (U 1,U 2)(U 1,U 2)
   .

Corrigé

1. Pour i=1,…,6 i=1,…,6
   , l'événement X=i X=i
   est réunion disjointe des trois événements suivants :
   - A A
     : U 1=i U 1=i
     et U 2=i U 2=i
     ;
   - B B
     : U 1=i U 1=i
     et U 2>i U 2>i
     ;
   - C C
     : U 1>i U 1>i
     et U 2=i U 2=i
     .
   Par indépendance des variables aléatoires U 1 U 1
   et U 2 U 2
   , on en déduit que P(A)=1 36, P(B)=6−i 36 et P(C)=6−i 36.P(A)=1 36, P(B)=6−i 36 et P(C)=6−i 36.
   Il vient P(X=1)=11/36 P(X=1)=11/36
   , P(X=2)=9/36 P(X=2)=9/36
   , P(X=3)=7/36 P(X=3)=7/36
   , P(X=4)=5/36 P(X=4)=5/36
   , P(X=5)=3/36 P(X=5)=3/36
   , P(X=6)=1/36 P(X=6)=1/36
   . On en déduit E(X)=91/36 E(X)=91/36
   .
2. On a X+Y=U 1+U 2 X+Y=U 1+U 2
   car (U 1,U 2)(U 1,U 2)
   est une permutation de (X,Y)(X,Y)
   . Il vient E(X+Y)=E(X)+E(Y)=E(U 1)+E(U 2)=7 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=E(U 1)+E(U 2)=7
   , puisque chaque U i U i
   suit une loi uniforme sur {1,…,6}{1,…,6}
   , son espérance vaut (6+1)/2=7/2(6+1)/2=7/2
   . On en déduit E(Y)=161/36 E(Y)=161/36
   .
3. On a X Y=U 1 U 2 X Y=U 1 U 2
   . On en déduit E(X Y)=E(U 1 U 2)=E(U 1)E(U 2)E(X Y)=E(U 1 U 2)=E(U 1)E(U 2)
   par indépendance de ces deux variables aléatoires. D'où Cov(X,Y)=E(X Y)−E(X)E(Y)=1225 1296.Cov(X,Y)=E(X Y)−E(X)E(Y)=1225 1296.
   Les deux variables ne sont pas indépendantes puisque leur covariance n'est pas nulle.

Exercice 13 - Simuler une variable aléatoire discrète [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La plupart des langages de programmation dispose d'une fonction ALEA() qui renvoie un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1][0,1]
. Écrire un algorithme dont les données sont un entier N≥1 N≥1
et un tableau p[1],…,p[N]p[1],…,p[N]
de réels positifs vérifiant ∑n i=1 p[i]=1∑i=1 n p[i]=1
et qui retourne un nombre aléatoire X X
tel que P(X=i)=p[i]P(X=i)=p[i]
.
Indication
Corrigé
Une méthode possible est basée sur la fonction de répartition de X X
. Plus précisément, notons s 0=0 s 0=0
et, pour i=1,…,N i=1,…,N
, s i=s i−1+p i s i=s i−1+p i
. Alors, si U U
suit une loi uniforme sur [0,1][0,1]
, P(U∈]s i−1,s i])=s i−s i−1=p i P(U∈]s i−1,s i])=s i−s i−1=p i
. L'algorithme suivant reprend cette idée.

Données :
N, p[1],...,p[N]
Variables :
Traitement :
S[0]=0
Pour i allant de 1 à N faire
S[i]=S[i-1]+p[i]
Fin Pour
x=ALEA()
Pour i allant de 1 à N faire
Si S[i-1]<x<=S[i] alors retourner i.
Fin Pour

Une erreur classique serait d'utiliser la fonction ALEA() à l'intérieur de la deuxième boucle Pour. On ne tirerait pas une seule fois un nombre au hasard, mais plusieurs fois et cela n'aurait plus du tout le même sens (d'ailleurs, on pourrait sortir de la boucle pour sans avoir retourné quelque chose).

Exercice 14 - Deux fois pile [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3. Les lancers sont supposés indépendants, et on note X X
la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs. Pour n≥1 n≥1
, on note p n p n
la probabilité P(X=n)P(X=n)
.

1. Expliciter les événements (X=2)(X=2)
   , (X=3)(X=3)
   , (X=4)(X=4)
   , et déterminer la valeur de p 2 p 2
   , p 3 p 3
   , p 4 p 4
   .
2. Montrer que l'on a p n=2 9 p n−2+1 3 p n−1 p n=2 9 p n−2+1 3 p n−1
   , n≥4 n≥4
   .
3. En déduire l'expression de p n p n
   pour tout n n
   .
4. Rappeler, pour q∈]−1,1[q∈]−1,1[
   , l'expression de ∑+∞n=0 n q n∑n=0+∞n q n
   , et calculer alors E(X)E(X)
   . Interpréter.

Indication

1. Introduire P k P k
   (resp. F k F k
   ) l'événement "on obtient pile" (resp. face) au k−k−
   ième lancer.
2. Raisonner par disjonction de cas en utilisant la formule des probabilités totales, suivant la valeur du premier lancer!
3. Revoir les suites récurrentes d'ordre 2.

Corrigé

1. On note P k P k
   (resp. F k F k
   ) l'événement on obtient pile (resp. face) au k−k−
   ième lancer. L'événement (X=2)(X=2)
   correspond à : (X=2)=P 1 P 2⟹p 2=(2 3)2=4 9.(X=2)=P 1 P 2⟹p 2=(2 3)2=4 9.
   De même, (X=3)=F 1 P 2 P 3⟹p 3=1 3(2 3)2=4 27.(X=3)=F 1 P 2 P 3⟹p 3=1 3(2 3)2=4 27.
   Pour (X=4)(X=4)
   , cela se corse un peu ! (X=4)=F 1 F 2 P 3 P 4∪P 1 F 2 P 3 P 4⟹p 4=(1 3)2(2 3)2+(1 3)(2 3)3=4 27.(X=4)=F 1 F 2 P 3 P 4∪P 1 F 2 P 3 P 4⟹p 4=(1 3)2(2 3)2+(1 3)(2 3)3=4 27.
2. On s'inspire du calcul de p 4 p 4
   : pour obtenir X=n X=n
   , on peut :
   - ou bien avoir obtenu pile au 1er lancer. Dans ce cas, on a forcément obtenu face au second lancer (sinon X=2 X=2
     ), donc avec une probabilité de 1/3. Puis il reste n−2 n−2
     lancers, et le premier "double pile" doit arriver au bout du n−2 n−2
     -ème. Ceci se produit avec une probabilité valant p n−2 p n−2
     . On a donc P(X=n|P 1)=1 3 p n−2 et P(P 1)=2 3.P(X=n|P 1)=1 3 p n−2 et P(P 1)=2 3.
   - ou bien avoir obtenu face au 1er lancer. Il reste n−1 n−1
     lancers où il faut obtenir le premier double pile au bout du n−1 n−1
     -ème, ce qui se produit avec une probabilité valant p n−1 p n−1
     . On a donc P(X=n|F 1)=p n−1 et P(F 1)=1 3.P(X=n|F 1)=p n−1 et P(F 1)=1 3.
   D'après la formule des probabilités totales, on trouve : p n=2 9 p n−2+1 3 p n−1.p n=2 9 p n−2+1 3 p n−1.
3. On a une classique formule de récurrence linéaire d'ordre 2. L'équation caractéristique r 2=r/3+2/9 r 2=r/3+2/9
   a pour solution 2/3 2/3
   et −1/3−1/3
   . On en déduit finalement que, pour n≥2 n≥2
   , on a p n=α(2 3)n+β(−1 3)n.p n=α(2 3)n+β(−1 3)n.
   On détermine α α
   et β β
   en testant sur les premiers termes (p 2 p 2
   et p 3 p 3
   ). On obtient : p n=(2 3)n+1+4 3(−1 3)n.p n=(2 3)n+1+4 3(−1 3)n.
   Remarquons que cette formule reste valable pour n=1 n=1
   puisqu'on a alors p 1=0 p 1=0
   .
4. Il est bien connu que pour tout q∈]−1,1[q∈]−1,1[
   , on a : +∞∑n=0 n q n=q(1−q)2.∑n=0+∞n q n=q(1−q)2.
   On en déduit, après un peu de calculs : E(X)=+∞∑n=1 n p n=15 4.E(X)=∑n=1+∞n p n=15 4.
   En moyenne, si on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, il faudra 15/4 lancers (non entier!) pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs.

Exercice 15 - Maximum d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit X X
une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson P(λ)P(λ)
. Pour quelle(s) valeur(s) de k∈N k∈N
la probabilité P(X=k)P(X=k)
est maximale?
Indication
Calculer P(X=k+1)/P(X=k)P(X=k+1)/P(X=k)
.
Corrigé
On a P(X=k+1)P(X=k)=λ k+1 P(X=k+1)P(X=k)=λ k+1
d'où P(X=k+1)P(X=k)≥1⟺k≤λ−1.P(X=k+1)P(X=k)≥1⟺k≤λ−1.
On distingue alors trois cas :

1. Si λ−1<0 λ−1<0
   , c'est-à-dire λ∈]0,1[λ∈]0,1[
   , la suite (P(X=k))(P(X=k))
   est strictement décroissante, et donc son maximum est atteint en P(X=0)P(X=0)
   .
2. si λ λ
   est un entier, la suite est strictement croissante jusque λ−1 λ−1
   , strictement décroissante à partir de λ λ
   et le maximum est atteint en deux points : P(X=λ−1)P(X=λ−1)
   et P(X=λ)P(X=λ)
   .
3. Si λ λ
   n'est pas un entier, la suite est strictement croissante jusque ⌊λ−1⌋+1⌊λ−1⌋+1
   , puis strictement décroissante ensuite. La valeur maximale est donc P(X=⌊λ⌋)P(X=⌊λ⌋)
   .

Exercice 16 - Retrouver une loi connaissant son conditionnement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit X X
et Y Y
deux variables aléatoires. On suppose que X X
suit une loi de Poisson P(λ)P(λ)
et que la loi de Y Y
conditionnée par (X=n)(X=n)
est la loi binomiale B(n,p)B(n,p)
, pour tout n∈N n∈N
. Quelle est la loi de Y Y
?
Indication
Utiliser la formule des probabilités totales. Il faut aussi triturer la somme un petit peu (ne sommer que sur les termes non nuls, puis faire un changement d'indices pour retrouver la fonction exponentielle...).
Corrigé
On remarque d'abord que Y Y
est à valeurs entières. D'après la formule des probabilités totales, P(Y=k)=+∞∑n=0 P(Y=k|X=n)P(X=n)=+∞∑n=k(n k)p k(1−p)n−k e−λ λ n n!=e−λ p k λ k k!+∞∑n=k(1−p)n−k λ n−k(n−k)!=e−λ p k λ k k!e(1−p)λ=e−p λ(λ p)k k!.P(Y=k)=∑n=0+∞P(Y=k|X=n)P(X=n)=∑n=k+∞(n k)p k(1−p)n−k e−λ λ n n!=e−λ p k λ k k!∑n=k+∞(1−p)n−k λ n−k(n−k)!=e−λ p k λ k k!e(1−p)λ=e−p λ(λ p)k k!.
Y Y
suit donc une loi de Poisson P(λ p)P(λ p)
.
Exercice 17 - Un problème chinois! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à 1/2 1/2
. On suppose que tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération de cette population. On note X X
le nombre d'enfants d'un couple pris au hasard dans la population.

1. Donner la loi de la variable aléatoire X X
   .
2. On suppose qu'une génération en âge de procréer est constituée de N N
   couples, et on note X 1,⋯,X N X 1,⋯,X N
   le nombre d'enfants respectif de chaque couple. On note enfin P P
   la proportion de garçons issus de cette génération. Exprimer P P
   en fonction de X 1,…,X N X 1,…,X N
   .
3. Quelle est la limite de P P
   lorsque N N
   tend vers l'infini. Qu'en pensez-vous?

Indication

1. Loi géométrique.
3. Appliquer la loi forte des grands nombres.

Corrigé

1. X X
   est le temps d'attente du premier "succès" (avoir un garçon), avec probabilité de succès égale à 1/2. On en déduit que X X
   suit une loi géométrique de paramètre 1/2. En particulier, P(X=k)=2−k P(X=k)=2−k
   .
2. Le nombre d'enfants total est X 1+⋯+X N X 1+⋯+X N
   , et le nombre de garçons est N N
   . Ainsi, la proportion P P
   de garçons est N/(X 1+⋯+X N)N/(X 1+⋯+X N)
   .
3. Les variables aléatoires X i X i
   sont intégrables, identiquement distribuées, et deux à deux indépendantes. D'après la loi forte des grands nombres, presque sûrement, N X 1+⋯+X N=1 X 1+⋯+X N N→1 E(X 1)=1/2.N X 1+⋯+X N=1 X 1+⋯+X N N→1 E(X 1)=1/2.
   Ainsi, malgré cette politique nataliste, on n'observe pas de déséquilibre entre les filles et les garçons.

Exercice 18 - Le concierge [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de n n
clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.

1. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n'a pas convenu. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
2. En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.

Indication
Noter X X
la variable aléatoire du nombre d'essais à effectuer avant d'ouvrir la porte. Il faut chercher la loi de X X
. Il est peut-être plus facile de trouver P(X>k)P(X>k)
.
Corrigé

1. Notons X X
   la variable aléatoire du nombre d'essais à effectuer avant d'ouvrir la porte. Il est un peu difficile de calculer directement P(X=k)P(X=k)
   , nous allons plutôt calculer, pour k=1,…,n−1 k=1,…,n−1
   , P(X>k)P(X>k)
   . L'événement (X>k)(X>k)
   est réalisé si et seulement si, la première clé n'a pas convenu et la deuxième clé n'a pas convenu,et..., et la k k
   -ième clé n'a pas convenu. Pour la clé numéro i i
   , il y a avait une clé parmi n−i+1 n−i+1
   qui convenait. La probabilité que la clé numéro i i
   ne convenait pas est donc 1−1 n−i+1 1−1 n−i+1
   . Par la formule des probabilités composées, notant A i A i
   l'événement "on fait au moins i i
   essais et le i i
   -ème ne convient pas", on a P(X>k)=P(A k)=P(A k|A k−1)P(A k−1|A k−2)⋯P(A 1)=k∏i=1(1−1 n−i+1)=k∏i=1 n−i n−i+1=n−k n.P(X>k)=P(A k)=P(A k|A k−1)P(A k−1|A k−2)⋯P(A 1)=∏i=1 k(1−1 n−i+1)=∏i=1 k n−i n−i+1=n−k n.
   On a ensuite P(X=k)=P(X>k−1)−P(X>k)=1 n.P(X=k)=P(X>k−1)−P(X>k)=1 n.
   Autrement dit, X X
   suit une loi uniforme sur {1,…,n}{1,…,n}
   . Son espérance (le nombre moyen d'essais pour ouvrir la porte) vaut donc E(X)=n+1 2.E(X)=n+1 2.
2. On garde les mêmes notations. On a cette fois P(A i|A i−1)=n−1 n P(A i|A i−1)=n−1 n
   et donc P(X>k)=(n−1)k n k.P(X>k)=(n−1)k n k.
   On en déduit que P(X=k)=(n−1)k−1 n k−1−(n−1)k n k=(n−1)k−1 n k−1(1−n−1 n)=1 n×(n−1)k−1 n k−1.P(X=k)=(n−1)k−1 n k−1−(n−1)k n k=(n−1)k−1 n k−1(1−n−1 n)=1 n×(n−1)k−1 n k−1.
   En reconnaissant une loi géométrique de paramètre 1/n 1/n
   , on trouve que le nombre moyen d'essais nécessaires est E(X)=n.E(X)=n.
   Finalement, ce n'est pas si différent!

Exercice 19 - Densité ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi les fonctions suivantes définies sur R R
, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. Calculer le cas échéant leur fonction de répartition et préciser si elles admettent une espérance. 1. f 1(x)={cos x si x∈[0,π/2]0 sinon.2. f 2(x)=1 1+x 2, x∈R 3. f 3(x)=e x(e x+1)2, x∈R 4. f 4(x)=⎧⎪⎨⎪⎩1+x si x∈[−1,0]1−x si x∈[0,1]0 sinon 5. f 5(x)={1|x|3 si |x|>1 0 sinon 6. f 6(x)=sin x+1, x∈R.1. f 1(x)={cos⁡x si x∈[0,π/2]0 sinon.2. f 2(x)=1 1+x 2, x∈R 3. f 3(x)=e x(e x+1)2, x∈R 4. f 4(x)={1+x si x∈[−1,0]1−x si x∈[0,1]0 sinon 5. f 5(x)={1|x|3 si |x|>1 0 sinon 6. f 6(x)=sin⁡x+1, x∈R.
Indication
Pour f 3 f 3
, reconnaitre une forme du type u′/u 2 u′/u 2
.
Corrigé
On vérifie d'abord que les fonctions données sont continues sauf en un nombre fini de points et positives sur R R
. On doit donc vérifier que ∫+∞−∞f(t)d t∫−∞+∞f(t)d t
converge et est égal à 1 pour déterminer s'il s'agit d'une densité.

1. On a bien ∫π/2 0 cos(x)=sin(π/2)−sin(0)=1∫0 π/2 cos⁡(x)=sin⁡(π/2)−sin⁡(0)=1
   : f 1 f 1
   définit bien une densité de probabilité. Notons X 1 X 1
   une variable aléatoire de densité f 1 f 1
   . Sa fonction de répartition est alors donnée par F X 1(x)=0 F X 1(x)=0
   si x<0 x<0
   , F X 1(x)=sin(x)F X 1(x)=sin⁡(x)
   si x∈[0,π/2]x∈[0,π/2]
   et F X 1(x)=1 F X 1(x)=1
   si x≥π/2 x≥π/2
   . De plus, puisque f 1 f 1
   est non-nulle seulement sur l'intervalle [0,π/2][0,π/2]
   , X 1 X 1
   admet une espérance donnée par E(X 1)=∫π/2 0 x cos(x)d x=1 2(π−2)E(X 1)=∫0 π/2 x cos⁡(x)d x=1 2(π−2)
   (intégrale qu'on peut calculer à l'aide d'une intégration par parties).
2. On a ∫+∞−∞d x 1+x 2=lim x→+∞arctan(x)−lim x→−∞arctan(x)=π≠1.∫−∞+∞d x 1+x 2=lim x→+∞arctan⁡(x)−lim x→−∞arctan⁡(x)=π≠1.
   Ainsi, f 2 f 2
   n'est pas la densité de probabilité d'une variable aléatoire.
3. Remarquons que f 3 f 3
   est de la forme u′/u 2 u′/u 2
   avec u(x)=e x+1 u(x)=e x+1
   . On a donc ∫b a e x(e x+1)2 d x=[−1 e x+1]b a=−1 e b+1+1 e a+1.∫a b e x(e x+1)2 d x=[−1 e x+1]a b=−1 e b+1+1 e a+1.
   On fait tendre a a
   vers −∞−∞
   et b b
   vers +∞+∞
   . Utilisant les limites de l'exponentielle en +∞+∞
   et −∞−∞
   , on en déduit que ∫+∞−∞e x(e x+1)2 d x∫−∞+∞e x(e x+1)2 d x
   converge et vaut 1. Ainsi, f 3 f 3
   est bien la densité de probabilité d'une variable aléatoire X 3 X 3
   . La fonction de répartition F X 3 F X 3
   de cette variable aléatoire est donnée par F X 3(t)=∫t−∞e x(e x+1)2 d x=1−1 e t+1.F X 3(t)=∫−∞t e x(e x+1)2 d x=1−1 e t+1.
   De plus, l'intégrale ∫+∞−∞|x|e x(e x+1)2 d x∫−∞+∞|x|e x(e x+1)2 d x
   est convergente. En effet, au voisinage de −∞−∞
   , on a |x|e x(e x+1)2∼−∞|x|e x|x|e x(e x+1)2∼−∞|x|e x
   et ∫0−∞|x|e x d x∫−∞0|x|e x d x
   converge (par comparaison à 1/x 2 1/x 2
   par exemple, ou par calcul en effectuant une intégration par parties). De même, au voisinage de +∞+∞
   , |x|e x(e x+1)2∼+∞|x|e x e 2 x=|x|e−x|x|e x(e x+1)2∼+∞|x|e x e 2 x=|x|e−x
   et pour les mêmes raisons, ∫+∞0|x|e−x d x∫0+∞|x|e−x d x
   converge. Ainsi, X 3 X 3
   admet une espérance. Par ailleurs, la fonction f 3 f 3
   est paire. En effet, pour tout x∈R x∈R
   , on a f 3(−x)=exp(−x)(exp(−x)+1)2=exp(−x)exp(−2 x)(1+exp(x))2=exp(x)(exp(x)+1)2.f 3(−x)=exp⁡(−x)(exp⁡(−x)+1)2=exp⁡(−x)exp⁡(−2 x)(1+exp⁡(x))2=exp⁡(x)(exp⁡(x)+1)2.
   Ceci entraîne (par un résultat du cours, ou tout simplement en effectuant le changement de variables u=−x u=−x
   dans l'intégrale) que E(X 3)=0 E(X 3)=0
   .
4. On a ∫1 0(1−x)d x=1 2∫0 1(1−x)d x=1 2
   et ∫0−1(1+x)d x=1 2∫−1 0(1+x)d x=1 2
   . Ainsi, ∫1−1 f 4(x)d x=1∫−1 1 f 4(x)d x=1
   et f 4 f 4
   est la densité de probabilité d'une variable aléatoire X 4 X 4
   . La fonction de répartition de X 4 X 4
   vaut F X 4(t)=0 F X 4(t)=0
   si t≤−1 t≤−1
   . Si t∈[−1,0]t∈[−1,0]
   , on a F X 4(t)=∫t−1(1+x)d x=1 2+t+t 2 2.F X 4(t)=∫−1 t(1+x)d x=1 2+t+t 2 2.
   Si t∈[0,1]t∈[0,1]
   , on a F X 4(t)=∫0−1 f 4(x)d x+∫t 0(1−x)d t=1 2+t−t 2 2.F X 4(t)=∫−1 0 f 4(x)d x+∫0 t(1−x)d t=1 2+t−t 2 2.
   Finalement, si t≥1 t≥1
   , on a F X 4(t)=1 F X 4(t)=1
   . D'autre part, puisque f 4 f 4
   est nulle en dehors de [−1,1][−1,1]
   , X 4 X 4
   admet une espérance (il n'y a pas de problème de convergence d'intégrale). Enfin, puisque f 4 f 4
   est paire, on a E(X 4)=0 E(X 4)=0
   .
5. On a ∫+∞1 1 x 3 d x=[−1 2 x 2]+∞1=1 2.∫1+∞1 x 3 d x=[−1 2 x 2]1+∞=1 2.
   De même, on a ∫−1−∞−1 x 3 d x=1 2.∫−∞−1−1 x 3 d x=1 2.
   Ainsi, f 5 f 5
   est bien la densité de probabilité d'une variable aléatoire X 5 X 5
   . Si t≤−1 t≤−1
   , on a F X 5(t)=∫t−∞−1 x 3=1 2 t 2.F X 5(t)=∫−∞t−1 x 3=1 2 t 2.
   Si t∈[−1,1]t∈[−1,1]
   , alors on a F X 5(t)=1 2.F X 5(t)=1 2.
   Enfin, si t≥1 t≥1
   , on a F X 5(t)=1 2+∫t 1 1 x 3 d x=1−1 2 t 2.F X 5(t)=1 2+∫1 t 1 x 3 d x=1−1 2 t 2.
   D'autre part, |x|f 5(x)=1|x|2|x|f 5(x)=1|x|2
   si |x|≥1|x|≥1
   , fonction qui est bien intégrable au voisinage de +∞+∞
   et de −∞−∞
   . X 5 X 5
   admet une espérance. Puisque f 5 f 5
   est paire, E(X 5)=0 E(X 5)=0
   .
6. On a ∫x 0 f 6(t)d t=x−cos(x)+1∫0 x f 6(t)d t=x−cos⁡(x)+1
   . Ceci tend vers +∞+∞
   si x x
   tend vers +∞+∞
   . La fonction f 6 f 6
   n'est pas intégrable sur R R
   . Ce n'est pas une densité de probabilité.

Exercice 20 - Loi de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit f f
la fonction définie sur R R
par f(x)=a 1+x 2 f(x)=a 1+x 2
. Déterminer a a
pour que f f
soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire X X
. Déterminer la fonction de répartition de X X
. X X
admet-elle une espérance?
Indication
Corrigé
La fonction f f
est continue sur R R
et positive. Elle va être la densité de probabilité d'une variable aléatoire X X
si elle est intégrable et si ∫+∞−∞f(x)d x=1∫−∞+∞f(x)d x=1
. Or, une primitive de 1 1+x 2 1 1+x 2
est arctan(x)arctan⁡(x)
. On a donc ∫+∞−∞f(x)d x=a lim x→+∞arctan(x)−a lim x→−∞arctan(x)=a π.∫−∞+∞f(x)d x=a lim x→+∞arctan⁡(x)−a lim x→−∞arctan⁡(x)=a π.
Ainsi, f f
est la densité de probabilité d'une variable aléatoire X X
si et seulement si a=1 π a=1 π
. Dans ce cas, la fonction de répartition de X X
est donnée par F X(t)=∫t−∞1 π(1+x 2)d x=1 π[arctan(x)]t−∞=1 π arctan(t)+1 2.F X(t)=∫−∞t 1 π(1+x 2)d x=1 π[arctan⁡(x)]−∞t=1 π arctan⁡(t)+1 2.
Enfin, X X
n'admet pas d'espérance car la fonction x f(x)x f(x)
n'est pas intégrable sur R R
. En effet, au voisinage de +∞+∞
, on a x f(x)∼+∞1 π x x f(x)∼+∞1 π x
et on conclut par comparaison à une intégrale de Riemann divergente.
Exercice 21 - Une densité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la fonction f f
définie sur R R
par f(x)=a x√x f(x)=a x x
si x≥1 x≥1
et f(x)=0 f(x)=0
sinon.

1. Déterminer le réel a a
   pour que f f
   soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire X X
   .
2. Déterminer la fonction de répartition associée à X X
   .
3. X X
   admet-elle une espérance? Si oui, la déterminer.

Indication

1. L'intégrale doit être égale à 1 1
   .
2. Calculer l'intégrale. Attention à la position par rapport à 1 1
   .
3. x f(x)x f(x)
   est-elle intégrable?

Corrigé

1. La fonction f f
   est continue par morceaux et positive. De plus, la fonction f f
   est intégrable. Le seul problème est en +∞+∞
   et on sait qu'on a une intégrale de Riemann convergente. La fonction f f
   est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X X
   si et seulement si ∫+∞1 f(x)d x=1∫1+∞f(x)d x=1
   . Mais ∫+∞1 f(x)d x=[−2 a√x]+∞1=2 a.∫1+∞f(x)d x=[−2 a x]1+∞=2 a.
   Donc f f
   est une densité de probabilité si et seulement si a=1/2 a=1/2
   .
2. Notons F X F X
   la fonction de répartition. Puisque f f
   est nulle sur ]−∞,1[]−∞,1[
   , on a F X(t)=0 F X(t)=0
   si t≤1 t≤1
   . Pour t>1 t>1
   , on a F X(t)=∫t 1 1 2 x√x d x=[−1√x]t 1=1−1√t.F X(t)=∫1 t 1 2 x x d x=[−1 x]1 t=1−1 t.
3. La variable aléatoire X X
   admet une espérance si la fonction x↦x f(x)x↦x f(x)
   est intégrable. Mais on a affaire à une intégrale de Riemann divergence en +∞+∞
   . Donc X X
   n'admet pas d'espérance.

Exercice 22 - La station-service [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, est une variable aléatoire X X
de densité f(x)=c(1−x)4 1[0,1]f(x)=c(1−x)4 1[0,1]
.

1. Déterminer c c
   .
2. La station est réapprovisionnée chaque lundi à 20h. Quelle doit être la capacité du réservoir d'essence pour que la probabilité d'épuiser ce réservoir soit inférieure à 10−5 10−5
   ?

Indication

1. f f
   doit être une densité.
2. Calculer la fonction de répartition de X X
   .

Corrigé

1. f f
   doit être une densité de probabilité, et donc on doit avoir ∫1 0 f(x)d x=1.∫0 1 f(x)d x=1.
   Or, ∫1 0 f(x)d x=c[−(1−x)5 5]1 0=c 5.∫0 1 f(x)d x=c[−(1−x)5 5]0 1=c 5.
   On a donc c=5 c=5
   .
2. On va commencer par chercher la fonction de répartition F X(x)F X(x)
   de X X
   . Elle est nulle à gauche de 0, égale à 1 à droite de 1, et si x∈[0,1]x∈[0,1]
   , on a F X(x)=∫x 0 f(t)d t=1−(1−x)5.F X(x)=∫0 x f(t)d t=1−(1−x)5.
   On cherche alors x x
   tel que la probabilité de consommer plus de x milliers de litre dans la semaine soit inférieure à 10−5 10−5
   . Autrement dit, on cherche x x
   le plus petit possible tel que F X(x)>1−10−5 F X(x)>1−10−5
   . Ceci est équivalent à (1−x)5≤10−5⟺1−x≤10−1⟺x≥0,9.(1−x)5≤10−5⟺1−x≤10−1⟺x≥0,9.
   Le réservoir doit contenir au moins 900 litres.

Exercice 23 - Loi de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une variable aléatoire X X
dont la densité est donnée par f(x)=c e−|x|.f(x)=c e−|x|.

1. Calculer c c
   .
2. Démontrer que X X
   admet des moments de tout ordre. Les calculer.

Indication

1. Il faut que l'intégrale fasse 1.
2. Moments impairs sont nuls. Moments pair à déterminer par récurrence.

Corrigé

1. Puisque f f
   est continue et positive, pour que f f
   soit une densité, il faut et il suffit que ∫R f(x)d x=1∫R f(x)d x=1
   . On calcule l'intégrale en séparant R+R+
   et R−R−
   et on trouve c=1/2 c=1/2
   .
2. On a, pour tout n≥1 n≥1
   , x n e−|x|=o(x−2)x n e−|x|=o(x−2)
   en ±∞±∞
   , ce qui prouve la convergence de l'intégrale. Par imparité de la fonction x↦x n e−|x|x↦x n e−|x|
   si n n
   est impair, les moments d'ordre impair sont nuls. Les moments d'ordre pair sont calculés par récurrence. En effet, pour n=2 p n=2 p
   , posons I p=∫+∞0 x 2 p e−x d x I p=∫0+∞x 2 p e−x d x
   , de sorte que E(X 2 p)=I p E(X 2 p)=I p
   . Alors, en intégrant par parties (deux fois), on trouve I p=∫+∞0 2 p x 2 p−1 e−x d x=∫+∞0 2 p(2 p−1)x 2 p−2 e−x d x=2 p(2 p−1)I p−1.I p=∫0+∞2 p x 2 p−1 e−x d x=∫0+∞2 p(2 p−1)x 2 p−2 e−x d x=2 p(2 p−1)I p−1.
   On en déduit immédiatement que I p=(2 p)!I 0 I p=(2 p)!I 0
   , et il est aisé de voir que I 0=1 I 0=1
   . En conclusion, on a E(X 2 p)=I p=(2 p)!E(X 2 p)=I p=(2 p)!
   .

Exercice 24 - Exponentiel des deux côtés! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit f f
la fonction définie sur R R
par : f(x)={a.3−x si x>0 a.3 x si x<0.f(x)={a.3−x si x>0 a.3 x si x<0.

1. Déterminer a a
   pour que f f
   soit une densité de probabilité.
2. Soit X X
   une variable aléatoire admettant f f
   pour densité. Déterminer la fonction de répartition de X X
   . Montrer que X X
   admet une espérance E(X)E(X)
   et la calculer.
3. On pose Y=3 X Y=3 X
   . Déterminer la fonction de répartition de Y Y
   . Y Y
   admet-elle une espérance?

Indication

1. Il suffit que ∫∞−∞f(x)d x=1∫−∞∞f(x)d x=1
   .
2. C'est des petits calculs d'intégrale. Pour la fonction de répartition, séparer les cas x<0 x<0
   et x≥0 x≥0
   . Pour l'espérance, on pourra étudier la parité.
3. Ecrire (Y≤x)⟺(X≤…)(Y≤x)⟺(X≤…)
   . Donner une expression de la densité pour x>1 x>1
   . Montrer que l'intégrale définissant l'espérance est divergente au voisinage de +∞+∞
   .

Corrigé

1. La fonction f f
   est continue sur R R
   , positive si a≥0 a≥0
   , et on a : ∫+∞0 3−x d x=∫∞0 e−x ln 3 d x=1 ln 3,∫0+∞3−x d x=∫0∞e−x ln⁡3 d x=1 ln⁡3,
   ∫0−∞3 x d x=1 ln 3.∫−∞0 3 x d x=1 ln⁡3.
   Ainsi, f f
   est une densité de probabilité si et seulement si a=ln 3 2.a=ln⁡3 2.
2. Si x≤0 x≤0
   , on a : F(x)=1 2 ln 3∫x−∞e t ln 3 d t=3 x 2.F(x)=1 2 ln⁡3∫−∞x e t ln⁡3 d t=3 x 2.
   Si x≥0 x≥0
   , on a : F(x)=F(0)+ln 3 2∫x 0 e−t ln 3 d t=1 2−(3−x 2−1 2)=1−3−x 2.F(x)=F(0)+ln⁡3 2∫0 x e−t ln⁡3 d t=1 2−(3−x 2−1 2)=1−3−x 2.
   La fonction x f(x)x f(x)
   est négligeable au voisinage de +∞+∞
   devant la fonction 1/x 2 1/x 2
   , et il en est de même au voisinage de −∞−∞
   car cette fonction est impaire. Elle est donc intégrable, et X X
   admet bien une espérance. En outre, toujours par imparité de x↦x f(x)x↦x f(x)
   , l'espérance est nulle!
3. Y Y
   prend ses valeurs dans R+R+
   , et on a : P(Y≤x)=P(3 X≤x)=P(X≤ln x ln 3).P(Y≤x)=P(3 X≤x)=P(X≤ln⁡x ln⁡3).
   On en déduit : si 0≤x≤1 0≤x≤1
   , F Y(x)=1 2 3 ln x ln 3=x 2.F Y(x)=1 2 3 ln⁡x ln⁡3=x 2.
   Si x>1 x>1
   , on a : F Y(x)=1−1 2 3−ln x ln 3=1−1 2 x.F Y(x)=1−1 2 3−ln⁡x ln⁡3=1−1 2 x.
   En particulier, pour x>1 x>1
   , la densité de Y Y
   est : f Y(x)=F′Y(x)=1 2 x 2.f Y(x)=F Y′(x)=1 2 x 2.
   Au voisinage de +∞+∞
   , on a : x f(x)∼1 2 x,x f(x)∼1 2 x,
   fonction qui n'est pas intégrable. Y Y
   n'admet pas d'espérance.

Exercice 25 - Carré de la loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit X X
une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a,b][a,b]
, avec 0<a<b 0<a<b
. Donner la fonction de répartition, la densité, l'espérance et la variance de Y=X 2 Y=X 2
.
Indication
Suivre les définitions.
Corrigé
On calcule la fonction de répartion F Y F Y
de Y Y
. Si y<0 y<0
, on a F Y(y)=P(Y≤y)=0.F Y(y)=P(Y≤y)=0.
Si y≥0 y≥0
, alors F Y(y)=P(Y≤y)=P(−√y≤X≤√y)=P(X≤√y)=F X(√y).F Y(y)=P(Y≤y)=P(−y≤X≤y)=P(X≤y)=F X(y).
Connaissant la fonction de répartition de X X
, on en déduit F Y(y)=⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩0 si y<a 2√y−a b−a si y∈[a 2,b 2]1 si y>b 2.F Y(y)={0 si y<a 2 y−a b−a si y∈[a 2,b 2]1 si y>b 2.
Cette fonction de répartition est dérivable sauf en a 2 a 2
et en b 2 b 2
. La dérivée donne la densité. On en déduit que Y Y
admet une densité p Y p Y
donnée par : p Y(y)=⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩0 si y<a 2 1 2(b−a)√y si y∈[a 2,b 2]0 si y>b 2.p Y(y)={0 si y<a 2 1 2(b−a)y si y∈[a 2,b 2]0 si y>b 2.
Pour calculer l'espérance de Y Y
et celle de Y 2 Y 2
, il est préférable de se souvenir que Y=X 2 Y=X 2
. On en déduit : E(Y)=E(X 2)=∫b a x 2 b−a d x=b 3−a 3 3(b−a),E(Y)=E(X 2)=∫a b x 2 b−a d x=b 3−a 3 3(b−a),
E(Y 2)=E(X 4)=∫b a x 4 b−a d x=b 5−a 5 5(b−a).E(Y 2)=E(X 4)=∫a b x 4 b−a d x=b 5−a 5 5(b−a).
Enfin, un calcul un peu pénible montre que Var(Y)=E(Y 2)−E(Y)2=(b−a)2(4 b 2+7 a b+4 a 2)45.Var(Y)=E(Y 2)−E(Y)2=(b−a)2(4 b 2+7 a b+4 a 2)45.
Exercice 26 - Loi uniforme, moyenne et écart-type [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit X X
une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a,b][a,b]
. On note m m
sa moyenne et σ σ
son écart-type. Calculer la probabilité P(X∈[m−σ,m+σ])P(X∈[m−σ,m+σ])
.
Indication
Corrigé
Rappelons que m=a+b 2 m=a+b 2
et σ=b−a 2√3 σ=b−a 2 3
et que X X
admet pour densité f(x)=1 b−a 1[a,b](x)f(x)=1 b−a 1[a,b](x)
. Remarquons aussi que m+σ=a+b 2+b−a 2√3≤a+b 2+b−a 2≤b m+σ=a+b 2+b−a 2 3≤a+b 2+b−a 2≤b
et de même m−σ≥a m−σ≥a
. Le calcul de la probabilité demandée suit alors la méthode usuelle pour une loi à densité : P(X∈[m−σ,m+σ])=1 b−a∫m+σ m−σ d t=1 b−a×(m+σ−m+σ)=2 σ b−a=1√3.P(X∈[m−σ,m+σ])=1 b−a∫m−σ m+σ d t=1 b−a×(m+σ−m+σ)=2 σ b−a=1 3.
Remarquons que ceci ne dépend pas de a a
et de b b
, ce qui est une propriété assez remarquable de la loi uniforme.
Exercice 27 - Temps d'attente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
A partir de 7heures du matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée, représentée par le nombre de minutes après 7h, est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0,30]. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus? Qu'il l'attende plus de dix minutes?
Indication
Trouver les heures possibles d'arrivée pour que l'usager attende moins de cinq minutes.
Corrigé
L'usager attendra moins de cinq minutes si son heure d'arrivée est comprise entre 7h10 et 7h15, ou entre 7h25 et 7h30. Si on note X X
la variable aléatoire définie par l'énoncé, ceci revient à X X
appartient à [10,15][10,15]
ou X X
appartient à [25,30][25,30]
. La probabilité recherchée est donc 5+5 30=1 3 5+5 30=1 3
.
Le raisonnement est identique pour déterminer la probabilité qu'il attende plus de dix minutes. Dans ce cas, l'heure d'arrivée doit être comprise entre 7h et 7h05 ou entre 7h15 et 7h20. On trouve à nouveau une probabilité de 1/3.
Exercice 28 - Désintégration radioactive. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La durée de vie des atomes de radon suit une loi exponentielle. La probabilité qu'un atome de radon ne soit pas désintégré en 40s sachant qu'il ne l'est pas en 12s vaut √2 2 2 2
. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas désintégré avant 76s sachant qu'il ne l'est pas en 20s?
Indication
Utiliser la propriété d'absence de mémoire des lois exponentielles.
Corrigé
Soit X X
la variable aléatoire donnant la durée de vie d'un atome de radon. On sait que X X
suit une loi exponentielle de paramètre λ λ
. On sait que, pour a>0 a>0
, P(X≥a)=∫+∞a λ e−λ t d t=e−λ a P(X≥a)=∫a+∞λ e−λ t d t=e−λ a
. L'énoncé nous dit que P(X≥12)(X≥40)=√2 2.P(X≥12)(X≥40)=2 2.
On utilise ensuite que la loi exponentielle est sans mémoire pour écrire que P(X≥28)=P(X≥12)(X≥28+12)=√2 2=e−28 λ.P(X≥28)=P(X≥12)(X≥28+12)=2 2=e−28 λ.
D'autre part, on cherche P(X≥20)(X>76)=P(X≥56)=e−56 λ=(e−28 λ)2=1 2.P(X≥20)(X>76)=P(X≥56)=e−56 λ=(e−28 λ)2=1 2.
Exercice 29 - Chaîne de fabrication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une usine fabrique des cadres de vélo. Pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaine A A
puis par la chaine B B
. Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaine A A
est une variable aléatoire M M
suivant une loi exponentielle de paramètre 2. Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaine B B
est une variable aléatoire N N
suivant une loi uniforme sur [0,1][0,1]
Les variables M M
et N N
sont indépendantes.

1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité v v
   de M M
   et d'une densité w w
   de N N
   .
2. On note S S
   la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce. Exprimer S S
   en fonction de M M
   et de N N
   et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.

Indication

1. C'est du cours!
2. L'espérance est linéaire!

Corrigé

1. Une densité de M M
   est : v(t)=0 v(t)=0
   sur R−R−
   et v(t)=2 e−2 t v(t)=2 e−2 t
   sur R+R+
   une densité de N N
   est : w(t)=1 w(t)=1
   sur [0,1][0,1]
   et 0 0
   ailleurs
2. Le temps total de fabrication est la somme des temps de passage sur A A
   et B.B.
   On a donc S=N+M S=N+M
   . On en déduit que le temps moyen de fabrication d'une pièce est : E(S)=E(M)+E(N)=1 2+1+0 2=1.E(S)=E(M)+E(N)=1 2+1+0 2=1.

Exercice 30 - Tailles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La taille d'un homme âgé de 25 ans suit une loi normale de moyenne 175cm et d'écart-type 6cm.

1. Quel est le pourcentage d'hommes ayant une taille supérieure à 1m85?
2. Parmi les hommes mesurant plus de 1m80, quelle proportion mesure plus de 1m92?

Indication

1. C'est juste un problème de renormalisation de la loi normale.

Corrigé
Comme usuellement, on note ϕ ϕ
la fonction de répartition de la loi normale N(0,1)N(0,1)
. On note aussi Y=X−175 6 Y=X−175 6
, qui suit une loi N(0,1)N(0,1)
.

1. On cherche P(X>185)P(X>185)
   qu'on va calculer en renormalisant la loi normale : P(X>185)=P(X−175 6>185−175 6)=P(Y>5/3)=1−ϕ(5/3)≃0,05.P(X>185)=P(X−175 6>185−175 6)=P(Y>5/3)=1−ϕ(5/3)≃0,05.
2. C'est le même raisonnement, si ce n'est qu'il fait de plus intervenir une probabilité conditionnelle : P(X>192|X>180)=P(X>192∩X>180)P(X>180)=P(X>192)P(X>180).P(X>192|X>180)=P(X>192∩X>180)P(X>180)=P(X>192)P(X>180).
   On mène les calculs comme précédemment, et on trouve P(X>192|X>180)=1−ϕ(17/6)1−ϕ(5/6)≃0,01.P(X>192|X>180)=1−ϕ(17/6)1−ϕ(5/6)≃0,01.

Exercice 31 - Javelot! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On suppose que la distance en mètres parcourues par un javelot lancé par un athlète A suit une loi normale. Au cours d'un entraînement, on constate que

- exactement 10%10%
  des javelots atteignent plus de 75 75
  mètres.
- exactement 25%25%
  des javelots atteignent moint de 50 50
  mètres.

Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l'écart-type de cette longueur.
Indication
Corrigé
Notons X X
la variable aléatoire égale au nombre de mètres parcourus par un javelot lancé par l'athlète A A
. L'énoncé nous dit que X X
suit une loi normale de paramètre N(m,σ)N(m,σ)
, avec m m
et σ σ
à déterminer, et que P(X≥75)=0,1, P(X≤50)=0,25.P(X≥75)=0,1, P(X≤50)=0,25.
On va renormaliser ceci pour se ramener à Y=(X−m)/σ Y=(X−m)/σ
qui suit une loi normale centrée réduite. On a donc P(X−m σ≥75−m σ)=0,1 et P(X−m σ≤50−m σ)=0,25.P(X−m σ≥75−m σ)=0,1 et P(X−m σ≤50−m σ)=0,25.
Notant ϕ ϕ
la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite, on a donc le système ⎧⎪⎨⎪⎩1−ϕ(75−m σ)=0,1 ϕ(50−m σ)=0,25⟺⎧⎪⎨⎪⎩ϕ(75−m σ)=0,9 ϕ(50−m σ)=0,25.{1−ϕ(75−m σ)=0,1 ϕ(50−m σ)=0,25⟺{ϕ(75−m σ)=0,9 ϕ(50−m σ)=0,25.
En s'aidant d'un tableur ou d'une table de la loi normale, on en déduit que, à 10−2 10−2
près, on a {75−m σ=1,28 50−m σ=−0,67.{75−m σ=1,28 50−m σ=−0,67.
On résout le système et on trouve m=58,59 m=58,59
et σ=12,82 σ=12,82
. Le javelot parcourt en moyenne 58,59 mètres et l'écart-type est de 12,82.
Exercice 32 - C'est le pied! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On a observé que la longueur d'un pied adulte, en cm, suivait une loi normale N(26,36)N(26,36)
. Une entreprise décide de fabriquer des chaussettes, en proposant trois tailles.

1. Déterminer un intervalle centré en 26 26
   qui concentre au moins 95%95%
   des tailles.
2. Diviser l'intervalle obtenu en trois intervalles égaux, qui détermineront les trois tailles.
3. Déterminer quelle part de production on doit réserver à chacune des tailles.

Indication

1. C'est du cours.
3. La production doit être proportionnelle au nombre de pieds présentant cette taille. Attention, il faut que la somme des parts soit égale à 1!!

Corrigé

1. C'est du cours (rappelons que 36 désigne ici la variance). Si X X
   désigne la variable aléatoire égale à la longueur d'un pied, on sait que P(26−1,96×6≤X≤26+1,96×6)≡0,95.P(26−1,96×6≤X≤26+1,96×6)≡0,95.
   Comme on veut un intervalle qui contienne au moins 95\% des tailles, et pour simplifier les calculs dans la suite, on va utiliser l'intervalle [26−2×6,26+2×6]=[14,38][26−2×6,26+2×6]=[14,38]
   .
2. Les trois intervalles sont donc [14,22][14,22]
   , [22,30][22,30]
   et [30,38][30,38]
   .
3. On veut bien sûr que la production soit proportionnelle au nombre de pieds présentant cette taille. Mais il faut faire attention que l'on ne raisonne pas sur tous les pieds, mais sur les pieds ayant une taille entre 14cm et 38cm. \`A l'aide d'un tableur, on trouve : P(14≤X≤22)≃0,230 P(22≤X≤30)≃0,495 P(30≤X≤38)≃0,230 P(14≤X≤38)≃0,954.P(14≤X≤22)≃0,230 P(22≤X≤30)≃0,495 P(30≤X≤38)≃0,230 P(14≤X≤38)≃0,954.
   La part de production pour la taille 14-22 est donc 0,230/0,954, soit à peu près 24,1\% (de même pour la taille 30-38). La part de production pour la taille 22-30 est 0,495/0,954, soit à peu près 51,9\%.
   Un dernier conseil : si un jour vous souhaitez fabriquer des chaussettes, ne croyez pas trop aux données de cet exercice!

Exercice 33 - Somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un grossiste fournit en viande hachée trois cantines. Il reçoit chaque matin leurs commandes. Ce sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales d'espérance respective 55 kg, 65 kg et 30kg, et d'écart-type respectif 4 kg, 10 kg et 3 kg. Calculer la quantité de viande dont le grossiste dois disposer pour que le risque de ne pouvoir satisfaire la demande soit inférieur à 5\%.
Indication
La somme de trois variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale suit une loi normale.
Corrigé
Notons X i X i
la variable aléatoire correspondant à la quantité commandée par la i i
-ème cantine. X 1 X 1
, X 2 X 2
et X 3 X 3
sont indépendantes, suivent des lois normales, avec X 1∼N(55,16)X 1∼N(55,16)
, X 2∼N(65,100)X 2∼N(65,100)
et X 3∼N(30,9)X 3∼N(30,9)
. Notons Y Y
la quantité totale commandée au grossiste, Y=X 1+X 2+X 3 Y=X 1+X 2+X 3
. Alors Y Y
suit une loi normale, d'espérance la somme des espérances et de variance la somme des variances. Autrement dit, Y Y
suit une loi N(150,125)N(150,125)
. Notons A A
la quantité de viande dont il doit disposer pour que le risque de ne pouvoir satisfaire la demande soit inférieure à 0,05. On a donc P(Y>A)≤0,05 P(Y>A)≤0,05
. Pour déterminer A A
vérifiant cette propriété, on va renormaliser Y Y
et s'aider d'une table de la loi normale centrée réduite. Posons en effet Z=Y−150√125 Z=Y−150 125
. Alors Y Y
suit une loi normale centrée réduite. De plus, Y>A⟺√125 Z+150>A⟺Z>A−150√125.Y>A⟺125 Z+150>A⟺Z>A−150 125.
Or, une lecture de la table de la loi normale indique que P(Z>1,65)<0,05.P(Z>1,65)<0,05.
Ainsi, il suffit que A≥1,65×√125+150≃168,4.A≥1,65×125+150≃168,4.
Le grossiste doit donc disposer d'environ 168,4 168,4
kg de viande.
Exercice 34 - L'ascenseur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La capacité des ascenseurs est déterminée par le fait que la masse d’une personne suit une loi normale de moyenne 75 kg et d’écart-type 5 kg. Dans un ascenseur du type WH1 le nombre maximum de personnes est de 9. Un voyant lumineux affiche qu’il y a surpoids pour une masse supérieure à 700 kg, dans ce cas l’ascenseur ne démarre pas.

1. Calculer la probabilité qu’il y ait surpoids, quand un groupe de 9 personnes monte dans l’ascenseur.
2. Une enquête récente a montré qu’aux USA, le poids moyen est de 76 kg et l’écart-type de 6 kg. Le building de la World-Company, à New York, est équipé d’un ascenseur du type WH1. Calculer la probabilité qu’il y ait surpoids, quand un groupe de 9 personnes monte dans cet ascenseur.

Indication
La somme de variables aléatoires suivant une loi normale suit une loi normale.
Corrigé

1. Notons X i X i
   le poids de la i i
   -ème personne. Par hypothèse, X i X i
   suit une loi N(75,5)N(75,5)
   . Si l’on suppose que le poids de chaque personne est indépendant du poids des autres personnes présentes dans l’ascenseur alors les X i X i
   sont indépendants et S=X 1+⋅⋅⋅X 9∼(9×75,√9×5)⟹S∼N(675,15).S=X 1+···X 9∼(9×75,9×5)⟹S∼N(675,15).
   On cherche à calculer la probabilité P(S>700)P(S>700)
   . Pour cela, on renormalise S S
   pour se ramener à une loi normale centrée réduite. On a donc P(S>700)=P(S−675 15>700−675 15)=P(Y>5/3)P(S>700)=P(S−675 15>700−675 15)=P(Y>5/3)
   où Y Y
   suit une loi N(0,1)N(0,1)
   . En notant ϕ ϕ
   la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, la probabilité recherchée est 1−ϕ(5/3)≃0,05.1−ϕ(5/3)≃0,05.
2. Un calcul complètement similaire donne cette fois une probabilité de 0,22. On constate donc que malgré un « faible » écart dans les valeurs de départ, on a quadruplé la probabilté de mettre la machine en panne...

Exercice 35 - Loi jointe uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit (X,Y)(X,Y)
un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur {0,…,n}2{0,…,n}2
.

1. Déterminer la loi de X X
   , la loi de Y Y
   , la loi de X+Y X+Y
   .
2. X X
   et Y Y
   sont-elles indépendantes?

Indication

1. Utiliser les méthodes classiques. Pour la loi de X+Y X+Y
   , on pourra séparer les cas X+Y≤n X+Y≤n
   et X+Y≥n X+Y≥n
   .
2. Utiliser la définition.

Corrigé

1. X X
   est à valeurs dans {0,…,n}{0,…,n}
   . On a, pour tout k k
   de {0,…,n}{0,…,n}
   , P(X=k)=n∑i=0 P((X,Y)=(k,i))=n∑i=0 1(n+1)2=1 n+1.P(X=k)=∑i=0 n P((X,Y)=(k,i))=∑i=0 n 1(n+1)2=1 n+1.
   X X
   suit donc une loi uniforme sur {0,…,n}{0,…,n}
   . Par symétrie, il en est de même de Y Y
   .
   La variable aléatoire X+Y X+Y
   est à valeurs dans {0,…,2 n}{0,…,2 n}
   et pour tout k k
   dans cet intervalle d'entiers, on a P(X+Y=k)=k∑i=0 P((X=i,Y=k−i)).P(X+Y=k)=∑i=0 k P((X=i,Y=k−i)).
   Si k≤n k≤n
   , ceci devient égal à P(X+Y=k)=k∑i=0 1(n+1)2=k+1(n+1)2.P(X+Y=k)=∑i=0 k 1(n+1)2=k+1(n+1)2.
   Si k>n k>n
   , la somme ne peut aller que jusque n n
   (car i≤n i≤n
   ) et ne peut commencer qu'en k−n k−n
   (car k−i≤n k−i≤n
   ) et donc P(X+Y=k)=n∑i=k−n 1(n+1)2=2 n−k+1(n+1)2.P(X+Y=k)=∑i=k−n n 1(n+1)2=2 n−k+1(n+1)2.
2. Les variables X X
   et Y Y
   sont indépendantes, car pour tout couple (i,j)(i,j)
   de {0,…,n}{0,…,n}
   , on a bien P((X=i),(Y=j))=P(X=i)P(Y=j)=1(n+1)2.P((X=i),(Y=j))=P(X=i)P(Y=j)=1(n+1)2.

Exercice 36 - Couple géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient X X
et Y Y
deux variables aléatoires à valeurs dans N∗N∗
, telles que : P((X=i)∩(Y=j))=a 2 i+j,P((X=i)∩(Y=j))=a 2 i+j,
pour tous i,j i,j
de N∗N∗
.

1. Calculer a a
   .
2. Déterminer les lois marginales de X X
   et Y Y
   .
3. X X
   et Y Y
   sont-elles indépendantes?

Indication

1. Il faut que la somme sur i i
   et j j
   fasse 1.
2. Utiliser la définition.
3. Comparer P((X=i)∩(Y=j))P((X=i)∩(Y=j))
   et P(X=i)×P(Y=j)P(X=i)×P(Y=j)
   .

Corrigé

1. Il est d'abord nécessaire que a≥0 a≥0
   . On a ensuite : ∑i,j≥1 a 2 i+j=1⟺a+∞∑i=1 1 2 i+∞∑j=1 1 2 j=1⟺a=1.∑i,j≥1 a 2 i+j=1⟺a∑i=1+∞1 2 i∑j=1+∞1 2 j=1⟺a=1.
2. Pour i∈N∗i∈N∗
   , on a : P(X=i)=+∞∑j=1 P((X=i)∩(Y=j))=+∞∑j=1 1 2 i+j=1 2 i=1 2 1 2 i−1.P(X=i)=∑j=1+∞P((X=i)∩(Y=j))=∑j=1+∞1 2 i+j=1 2 i=1 2 1 2 i−1.
   X X
   suit donc une loi géométrique de paramètre 1/2 1/2
   . Par raison de symétrie, il en est de même pour Y Y
   .
3. On a : P(X=i)×P(Y=j)=1 2 i+j=P((X=i)∩(Y=j)).P(X=i)×P(Y=j)=1 2 i+j=P((X=i)∩(Y=j)).
   Les variables aléatoires sont indépendantes.

Exercice 37 - Guichet de poste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité p p
, ou le deuxième guichet avec une probabilité q=1−p q=1−p
. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre X X
de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson P(m)P(m)
. On désigne par Y Y
le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.

1. Exprimer la probabilité conditionnelle de Y=k Y=k
   sachant que X=n X=n
   .
2. En déduire la loi conjointe du couple (X,Y)(X,Y)
   .
3. Déterminer la loi de Y Y
   . On trouvera que Y Y
   suit une loi de Poisson de paramètre m p m p
   .

Indication

1. Reconnaitre le schéma d'une loi binomiale. On séparera le cas k≤n k≤n
   du cas k>n k>n
   .
2. Utiliser la formule définissant une probabilité conditionnelle. On fera la même séparation de cas.
3. On rappelle que ∑+∞k=0 λ k/k!=e λ∑k=0+∞λ k/k!=e λ
   . Il faut juste aller doucement, et faire un changement d'indice dans la somme.

Corrigé

1. Pour chaque personne, le choix du premier guichet se fait avec une probabilité p p
   . Les choix sont indépendants les uns des autres, et Y=k|X=n Y=k|X=n
   compte le nombre de "succès" lorsqu'on réalise n n
   fois l'épreuve. On reconnait le schéma théorique d'une variable aléatoire de loi binomiale. On a donc : P(Y=k|X=n)={(n k)p k q n−k si 0≤k≤n 0 si k>n.P(Y=k|X=n)={(n k)p k q n−k si 0≤k≤n 0 si k>n.
2. On a : P(Y=k,X=n)=P(X=n)P(Y=k|X=n)={e−m m n n!(n k)p k q n−k si k≤n 0 sinon.P(Y=k,X=n)=P(X=n)P(Y=k|X=n)={e−m m n n!(n k)p k q n−k si k≤n 0 sinon.
3. Il faut réaliser la sommation! On a, tenant compte du fait que les premiers termes sont nuls : P(Y=k)=+∞∑n=k P(Y=k,X=n)=e−m(p q)k 1 k!+∞∑n=k(m q)n(n−k)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k+∞∑n=k(m q)n−k(n−k)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k+∞∑n=0(m q)n(n)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k e m q=e−m p(m p)k k!.P(Y=k)=∑n=k+∞P(Y=k,X=n)=e−m(p q)k 1 k!∑n=k+∞(m q)n(n−k)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k∑n=k+∞(m q)n−k(n−k)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k∑n=0+∞(m q)n(n)!=e−m(p q)k 1 k!(m q)k e m q=e−m p(m p)k k!.

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