From 05da1638003fbd4ddba24d335a2907843d8a9966 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?F=C3=A9lix=20MARQUET?= Date: Mon, 2 Dec 2024 09:37:11 +0100 Subject: [PATCH] Obisidian vault auto-backup: 02-12-2024 09:37:11 on constellation. 1 files edited --- ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md | 30 +++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 28 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md b/ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md index 891fe47..71021c2 100644 --- a/ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md +++ b/ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md @@ -106,8 +106,34 @@ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - $$\nabla \times f = \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}$$ ## Théorème de Schwarz $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad \text{si } f_{xy} \text{ et } f_{yx} \text{ sont continues.}$$ - - +# Matrice hessienne +## Définition +La matrice hessienne d'une fonction $f: R^n \to R$ est une matrice carrée composée des dérivées partielles secondes de $f$. Si $f(x_{1}, x_{2}, x_{3},\dots, x_{n})$ est deux fois continûment différentiable, alors : +$$ +H_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} +$$ +## Propriétés +1. La matrice hessienne est **symétrique** si $f$ est de classe $C^2$ +$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}.$ +2. La hessienne permet de déterminer la **convexité** ou la **concavité** de $f$ : + - Si $H_{f}(x)$ (x) est définie positive ($∀v, v^TH_{f}(x)v>0$) alors $f$ est **strictement convexe**. + - Si $H_{f}(x)$ (x) est définie négative ($∀v, v^TH_{f}(x)v<0$) alors $f$ est **strictement concave**. +## Exemple: $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ +## Calcul des dérivées partielles +1. Les dérivées partielles premières : +$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y.$ +2. Les dérivées partielles secondes : +$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 1$ +## Matrice hessienne +$$ +H_f(x, y) = +\begin{bmatrix} +2 & 1 \\ +1 & 2 +\end{bmatrix} +$$ +## Analyse +La matrice hessienne $H_{f}(x, y)$ --- © Félix MARQUET \ No newline at end of file