Obisidian vault auto-backup: 03-12-2024 18:40:17 on . 2 files edited

ISEN/Maths/CIPA3/Fiche de révision DS1.md

@@ -112,16 +112,16 @@ $$f * (g * h) = (f * g) * h$$
 $$f * (g + h) = (f * g) + (f * h)$$
 4. **Lien avec la transformée de Fourier** :
 $$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)$$
-## Convolution de deux fonctions exponentielles
+## Exemple: Convolution de deux fonctions exponentielles
 
 Soient $\alpha$ et $beta$ deux nombres réels. Nous cherchons à démontrer l'existence et à calculer le produit de convolution :  
 $$
 \left(e^{\alpha x} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x)\right) \ast \left(e^{\beta x} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x)\right).
 $$
 
-### Existence
+### Correction
 
-Remarquons d'abord que l'existence du produit de convolution de ces deux fonctions ne résulte pas immédiatement des théorèmes du cours. En effet :
+Remarquons d'abord que l'existence du produit de convolution de ces deux fonctions ne résulte pas immédiatement des théorèmes du cours.
 
 - Si $alpha > 0$ et $beta > 0$, alors les deux fonctions ne sont dans aucun $L^p$ pour $p \geq 1$.
 - Elles appartiennent à $L^1_{\text{loc}}$, mais aucune des deux n'a de support compact.
@@ -129,64 +129,26 @@ Remarquons d'abord que l'existence du produit de convolution de ces deux fonctio
 Ainsi, pour démontrer l'existence du produit de convolution, il faut montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction
 $$
 y \mapsto e^{\alpha (x-y)} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(y)
-\
 $$
 est intégrable.
 
 Comme cette fonction est positive, il suffit de faire le calcul sans les valeurs absolues.
 
-### Calcul du produit de convolution
+On a alors :
+$$ f \ast g(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{\alpha (x-y)} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(y) \, dy. $$
 
-$$
+Substituons les fonctions indicatrices :
-f \ast g(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{\alpha (x-y)} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(y) \, dy
+$$ f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \, dy. $$
-$$
-
-Substituons les fonctions indicatrices $\mathbf{1}_{[0,+\infty[}$ :
 
+Or, $x-y \in [0, +\infty[ \iff x \geq y$. Il en résulte que :
+- Si $x \leq 0$, alors $f \ast g(x) = 0$. - Si $x \geq 0$, alors : 
+ $$ f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{x} e^{(\beta - \alpha) y} \, dy 
 $$
-f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \, dy
+Pour terminer, on a :
-$$
+- Si $\beta \neq \alpha$, alors : $$ f \ast g(x) = \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right). $$ - Si $\beta = \alpha$, alors : $$ f \ast g(x) = x e^{\alpha x}. $$
-
+Ce qui donne le produit de convolution:
-Or, $x-y \in [0, +\infty[$ si et seulement si $x \geq y$. Ainsi :
+$$ 
-
+f \ast g(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0, \\ \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right) & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta \neq \alpha, \\ x e^{\alpha x} & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta = \alpha. \end{cases} 
-- Si $x \leq 0$, alors $f \ast g(x) = 0$.
-- Si $x \geq 0$, alors :
-  $$
-  f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{x} e^{(\beta - \alpha) y} \, dy
-  $$
-#### Cas $\beta \neq \alpha$
-
-Pour $\beta \neq \alpha$, calculons l'intégrale :
-$$
-\int_{0}^{x} e^{(\beta - \alpha) y} \, dy = \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{(\beta - \alpha)x} - 1 \right)
-$$
-
-Ainsi :
-$$
-f \ast g(x) = \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right).
-$$
-#### Cas $\beta = \alpha$
-
-Pour $\beta = \alpha$, l'intégrale devient :
-$$
-\int_{0}^{x} 1 \, dy = x.
-$$
-
-Ainsi :
-$$
-f \ast g(x) = x e^{\alpha x}.
-$$
-
-### Résultat final
-
-Le produit de convolution est donné par :
-$$
-f \ast g(x) =
-\begin{cases}
-0 & \text{si } x \leq 0, \\
-\frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right) & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta \neq \alpha, \\
-x e^{\alpha x} & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta = \alpha.
-\end{cases}
 $$
 
 # 7. **Distribution de Dirac**
@@ -197,7 +159,6 @@ pour toute fonction $f$ continue au voisinage de 0.
 ## Propriétés
 1. **Support ponctuel** :
 $$\delta(x) = 0 \quad \text{pour } x \neq 0$$
-<div style="page-break-after: always;"></div>
 
 2. **Translation** :
 $$\delta(x - a) \quad \text{est centrée en } x = a$$
@@ -222,7 +183,7 @@ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) -
 $$\nabla \times f = \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}$$
 ## Théorème de Schwarz
 $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad \text{si } f_{xy} \text{ et } f_{yx} \text{ sont continues.}$$
-<div style="page-break-after: always;"></div>
+
 ## Recherche de point critique
 On pose $\nabla f(x, y) = 0$
 Puis une fois que x est exprimé par rapport a y on cherche les points évidents.