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title: Fiche de révision DS1 de maths

1. Rappel primitive et dérivé

Fonction f(x)	Dérivée f'(x)	Primitive F(x)
x^n (n \neq -1)	nx^{n-1}	\frac{x^{n+1}}{n+1}
x^{-1}	-x^{-2}	\ln\|x\|
\ln(x)	\frac{1}{x}	x \ln(x) - x
e^x	e^x	e^x
a^x	a^x \ln(a)	\frac{a^x}{\ln(a)}
\sin(x)	\cos(x)	-\cos(x)
\sin(ax)	a\cos(x)	-\frac{1}{a}\cos(ax)
\cos(x)	-\sin(x)	\sin(x)
\cos(ax)	-a\sin(x)	\frac{1}{a}\sin(ax)
\tan(x)	1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}

2. Identités trigonométrique:

\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)
\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)
\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)
\cos(a)\sin(b) = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a - b)]
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]
\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]

3. Rappel mathématique

IPP

\int u \, v' \, dx = u v - \int u' \, v \, dx

Fréquence

\omega = {2\pi}*F ou \omega = \frac{2\pi}{T} F = \frac{{1}}{T}

Partité d'une fonction

Une fonction est paire si f(-x) = f(x) Une fonction est impaire si f(-x) = -f(x) Une fonction peut ne pas avoir de parité.

4. Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé complet muni d'un produit scalaire.

Définitions

• Produit scalaire :

\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v_i} \quad \text{(ou une intégrale si l'espace est infini-dimensionnel)}.

- **Norme induite** :

|u| = \sqrt{\langle u, u \rangle}

## Propriétés
1. **Orthogonalité** : Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si :

\langle u, v \rangle = 0

2. **Inégalité de Cauchy-Schwarz** :

|\langle u, v \rangle| \leq |u| |v|.

3. **Théorème de projection orthogonale** :  
   Si $H$ est un sous-espace fermé, tout vecteur $x$ se décompose en :

x = x_H + x_H^\perp, \quad x_H \in H, , x_H^\perp \in H^\perp.

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# 5. **Décomposition en Séries de Fourier**
## Définition
Une fonction périodique $f(x)$ de période $2π$ peut être décomposée en une série de Fourier :

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right].

## Coefficients de Fourier
- $a_0$ : (tous le temps)
  $$a_0 = \frac{1}{T} \int_{d}^{d+T} f(x) \, dx$$

- $a_n$ : (si paire)
  $$a_n = \frac{2}{T} \int_{d}^{d+T} f(x) \cos(nx) \, dx$$
- $b_n$ : (si impaire)
  $$b_n = \frac{2}{T} \int_{d}^{d+T} f(x) \sin(nx) \, dx$$

## Propriétés
- **Convergence** : La série converge en moyenne quadratique dans $L^2([-\pi, \pi])$. (Pas vu en cours mais je le note la quand même au cas ou)
- **Parseval** :
  $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2 + b_n^2}{2}$$
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# 6. **Convolution**
## Définition
La convolution de deux fonctions $f$ et $g$ est définie par :
$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$$
## Propriétés
1. **Commutativité** : $$f * g = g * f$$
2. **Associativité** :
$$f * (g * h) = (f * g) * h$$

3. **Distributivité** :
$$f * (g + h) = (f * g) + (f * h)$$
4. **Lien avec la transformée de Fourier** :
$$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)$$
## Exemple: Convolution de deux fonctions exponentielles

Soient $\alpha$ et $beta$ deux nombres réels. Nous cherchons à démontrer l'existence et à calculer le produit de convolution :  

\left(e^{\alpha x} \mathbf{1}{[0,+\infty[}(x)\right) \ast \left(e^{\beta x} \mathbf{1}{[0,+\infty[}(x)\right).

### Correction

Remarquons d'abord que l'existence du produit de convolution de ces deux fonctions ne résulte pas immédiatement des théorèmes du cours.

- Si $alpha > 0$ et $beta > 0$, alors les deux fonctions ne sont dans aucun $L^p$ pour $p \geq 1$.
- Elles appartiennent à $L^1_{\text{loc}}$, mais aucune des deux n'a de support compact.

Ainsi, pour démontrer l'existence du produit de convolution, il faut montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction

y \mapsto e^{\alpha (x-y)} \mathbf{1}{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \mathbf{1}{[0,+\infty[}(y)

est intégrable.

Comme cette fonction est positive, il suffit de faire le calcul sans les valeurs absolues.

On a alors :
$$ f \ast g(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{\alpha (x-y)} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(y) \, dy. $$

Substituons les fonctions indicatrices :
$$ f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha y} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x-y) e^{\beta y} \, dy. $$

Or, $x-y \in [0, +\infty[ \iff x \geq y$. Il en résulte que :
- Si $x \leq 0$, alors $f \ast g(x) = 0$. - Si $x \geq 0$, alors : 
 $$ f \ast g(x) = e^{\alpha x} \int_{0}^{x} e^{(\beta - \alpha) y} \, dy 

Pour terminer, on a :

• Si \beta \neq \alpha, alors : f \ast g(x) = \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right). - Si \beta = \alpha, alors : f \ast g(x) = x e^{\alpha x}. Ce qui donne le produit de convolution:

 
f \ast g(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0, \\ \frac{1}{\beta - \alpha} \left( e^{\beta x} - e^{\alpha x} \right) & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta \neq \alpha, \\ x e^{\alpha x} & \text{si } x > 0 \text{ et } \beta = \alpha. \end{cases} 

7. Distribution de Dirac

Définition

La distribution de Dirac \delta(x) est définie par :

\int_{-\infty}^\infty \delta(x) f(x) \, dx = f(0)

pour toute fonction f continue au voisinage de 0.

Propriétés

1. Support ponctuel :

\delta(x) = 0 \quad \text{pour } x \neq 0

2. Translation :

\delta(x - a) \quad \text{est centrée en } x = a

3. Propriété de filtrage :

\int_{-\infty}^\infty \delta(x - a) f(x) \, dx = f(a)

4. Lien avec la transformée de Fourier :

\mathcal{F}(\delta(x)) = 1

8. Distribution de 2 variables

Définition

Une distribution de deux variables est une généralisation des fonctions classiques permettant de modéliser des phénomènes singuliers ou localisés, comme les impulsions ou les discontinuités. Elle agit sur des fonctions tests \phi(x, y) lisses et à support compact par une intégrale généralisée.

Gradient d'une fonction à 2 variables

\nabla f(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}

Dérivée partielle selon x

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}

Dérivée partielle selon y

\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}

Rotationnel en 2D

\nabla \times f = \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}

Théorème de Schwarz

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad \text{si } f_{xy} \text{ et } f_{yx} \text{ sont continues.}

Recherche de point critique

On pose \nabla f(x, y) = 0 Puis une fois que x est exprimé par rapport a y on cherche les points évidents. Ensuite une exprime la matrice hessienne pour les points critiques. Si le déterminant \Delta > 0 est défini positive. Si \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0, alors le point critique est un minimum local. Si \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0, alors le point critique est un maximum local. Si \Delta < 0 le point critique est un point de selle. Si \Delta = 0 le test est indéterminé, et il faut utiliser d'autres méthodes pour conclure.

9. Matrice hessienne

Définition

La matrice hessienne d'une fonction f: R^n \to R est une matrice carrée composée des dérivées partielles secondes de f. Si f(x_{1}, x_{2}, x_{3},\dots, x_{n}) est deux fois continûment différentiable, alors :

H_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

Propriétés

1. La matrice hessienne est symétrique si f est de classe C^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}.
2. La hessienne permet de déterminer la convexité ou la concavité de f :
   • Si H_{f}(x) (x) est définie positive (∀v, v^TH_{f}(x)v>0) alors f est strictement convexe.
   • Si H_{f}(x) (x) est définie négative (∀v, v^TH_{f}(x)v<0) alors f est strictement concave.

Exemple: f(x, y) = x^2 + xy + y^2

Calcul des dérivées partielles

1. Les dérivées partielles premières : \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y.
2. Les dérivées partielles secondes : \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 1

Matrice hessienne

H_f(x, y) = 
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}

Analyse

La matrice hessienne H_{f}(x, y) est définie positive (ses valeurs propres sont toutes positives). Cela signifie que la fonction f(x,y) = x^2 +xy + y^2 est strictement convexe.

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© Félix MARQUET