From 04beae6f5cf431f0f1f3739b3ba7bdae8f302b74 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Tue, 27 Aug 2024 15:15:24 +0200 Subject: [PATCH] content phy1 --- PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1.markdown | 92 +++++++++++++++++++++--- PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1_EX.markdown | 72 ++++++++++++++++++- 2 files changed, 152 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1.markdown b/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1.markdown index bed896f..ac92f6c 100644 --- a/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1.markdown +++ b/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1.markdown @@ -34,7 +34,7 @@ Toute grandeur physique peut s'exprimer en fonction de sept dimensions fondament Le système international des unités se compose d'un ensemble d'unités fondamentales, d'unités dérivées, et de préfixes multiplicateurs. -- La **seconde** (s), unité fondamentale de temps, est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 à la température du zéro absolu. (Le césium c'est rigolo : https://youtu.be/uixxJtJPVXk?t=136) +- La **seconde** (s), unité fondamentale de temps, est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 à la température du zéro absolu. (Le césium c'est rigolo : ) - Le **mètre** (m), unité fondamentale de distance, définie comme la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde. - Le **kilogramme** (kg), unité fondamentale de masse, est défini grâce à la valeur numérique de la constante de Planck $h = 6,62607015.10^{-34} kg.m^2.s^{-1}$, en ayant au préalable défini le mètre et la seconde. - L'**ampère** (A), unité fondamentale d'intensité électrique, est défini en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire $e=1,602176634.10^{-19} A.s$, en ayant défini au préalable la seconde. @@ -58,7 +58,7 @@ Le système international des unités se compose d'un ensemble d'unités fondame On rappelera que ces unités étaient initialement basées sur l'observation de phénomènes naturels (fraction du jour solaire, oscillation d'un pendule, ...) -On peut déduire de ces unités fondamentales toutes les unités dérivées du système international (liste complète : https://en.wikipedia.org/wiki/SI_derived_unit). Par exemple, la capacité thermique s'exprime habituellement en $J.K^{-1}$, qui s'exprime dans le système fondamental : $kg.m^2.s^{-2}.K^{-1}$ +On peut déduire de ces unités fondamentales toutes les unités dérivées du système international (liste complète : ). Par exemple, la capacité thermique s'exprime habituellement en $J.K^{-1}$, qui s'exprime dans le système fondamental : $kg.m^2.s^{-2}.K^{-1}$ **Remarque :** Dans beaucoup de domaines, on aura tendance a utiliser des unités dérivées pour un côté pratique. (voir les illustrations) @@ -98,7 +98,24 @@ En pratique, il s'avère que dans beaucoup de domaines, les préfixes multiplica **Remarque :** Un angle n'a pas d'unité, le radian correspond à un ratio de longueurs (c'est par définition le quotient de la longueur d'un arc de cercle par le rayon). -### D. Analyse dimensionnelle +### D. Chiffres significatifs + +**Définition :** Un chiffre significatif d'un nombre est : +- Tout chiffre non nul de ce nombre +- Tout "0" situé à droite d'un autre nombre + +Lorsqu’on indique un nombre en physique, on indique en fait un encadrement de ce nombre. La précision de cet encadrement est directement reliée au nombre de chiffres significatifs. + +**Exemples :** +- $x = 1.5$ signifie $1.45 \leq x < 1.55$ +- $x = 1.500$ signifie $1.4995 \leq x < 1.5005$ + +**Opérations :** +- Le résultat d'une **addition** ou d'une **soustraction** a le même nombre de *décimales* que la donnée qui en possède le moins. +- Le résultat d'une **multiplication** ou d'une **division** a le même nombre de *chiffre significatifs* que la donnée qui en possède le moins. + + +### E. Analyse dimensionnelle Connaître les unités des grandeurs physiques que l'on manipule permet de vérifier la pertinence d'un calcul. En effet, une égalité entre deux membres implique nécessairement l'égalité des unités. Par conséquent, lors de **tout calcul numérique**, un élève avisé vérifiera **systématiquement** la cohérence des unités dans le calcul. @@ -108,18 +125,13 @@ On va chercher à déterminer l'unité du membre de droite, et vérifier si cela $[v] = L\times T^{-1}$ et $[D] = L$. De fait, le membre de droite est donc une grandeur de type $\dfrac{(L\times T^{-1})^2}{L}$et on obtient en simplifiant : $L\times T^{-2}$, ce qui correspond bien à une accélération. -### E. Conversions +### F. Conversions Un point rapide sur les conversions : afin d'éviter des erreurs de calcul on pourra utiliser la technique suivante : $25 km/h = \dfrac{25 km}{1 h} = \dfrac{25 \times 1000 m}{1 \times 3600 s} = \dfrac{25}{3.6} m/s \simeq 6.9 m/s$ - - - - - ## 2. Dérivation des fonctions de la variable réelle ### A. Définition @@ -189,4 +201,64 @@ $\left(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)_{x = cst} \hspace{4mm}$ ou sim - $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x$; $\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y$ - $\dfrac{\partial g}{\partial x} = 2y^2$; $\dfrac{\partial g}{\partial y} = 4xy$ -**Remarque :** On peut généraliser cette définition à une fonction d'un nombre quelconque de variables. \ No newline at end of file +**Remarque :** On peut généraliser cette définition à une fonction d'un nombre quelconque de variables. + +## 4. Mesures et incertitudes + +### A. Définitions +- Une **mesurande** est une grandeur physique que l'on mesure +- Un **mesurage** est une opération de mesure d'une mesurande. A la suite de cette opération, on obtient une valeur mesurée $x$ pour la mesurande. + +Il est impossible de connaître la valeur exacte $x_{vrai}$ de la mesurande par les mesurages. Une mesure $x$ contient nécessairement une erreur $\varepsilon$ sur l'estimation de $x_{vrai}$ : $\varepsilon = x - x_{vrai}$ + +Cette erreur contient deux composantes : +- **Erreur systématique** : composante de l'erreur qui, dans des mesurages répétés, reste constante, ou varie de manière prévisible. (mauvais calibrage, approximation dans la modélisation...) +- **Erreur aléatoire** : composante de l'erreur qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprévisible. (précision des données des appareils de mesure, fluctuation des conditions expérimentales...) + +### B. Erreur aléatoire, évaluation de type A + +On considère que l'on dispose, pour l'évaluation de $x_{vrai}$ d'une série de $n$ mesures indépendantes, $x_1, x_2, ... x_n$ + +Dans l'évaluation de type A, $x_{vrai}$ est donnée par : + +$$x_{vrai} = x_m \pm \dfrac{\sigma(x)}{\sqrt{n}}$$ + +avec : $x_m = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i} x_i$, la moyenne de la série de mesures, + +et $s(x) = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i} (x_i-x_m)^2}$ l'écart-type de la série de mesures. + +L'évaluation de type A est une méthode statistique qui est d'autant plus précise que le nombre de mesures indépendantes $n$ est grande. + +**Remarque :** il convient plutôt en physique de définir l'indicateur écart type en divisant par $n-1$ au lieu de $n$. L'indicateur indiqué ci-dessus est légèrement moins précis (discutable) mais s'aligne parfaitement avec la définition de l'écart-type mathématique pour éviter une confusion de la part de l'élève. + +### C. Evaluation de type B + +Il s'agit maintenant de pouvoir évaluer l'erreur commise lors d'une mesure unique. + +**Mesure directe :** Dans le cas d'une mesure directe, il existe généralement une précision $\Delta$ indiquée par l'appareil de mesure. + +*Remarque : on peut considérer dans ce cas que $u(x) = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$ avec certaines considérations mathématiques. Cette relation n'est pas à retenir* + +**Mesure indirecte et composition des incertitudes :** + +Dans le cas d'une mesure indirecte, une valeur mesurée de la mesurande est déduite d'une formule mathématique faisant intervenir la mesure d'autres grandeurs $z_1, z_2, ... z_n$ (appelées grandeurs d'entrée). + +$$x = f(z_1, z_2, ... z_n)$$ + +On note $u_1, u_2, ... u_n$ les incertitudes sur les grandeurs d'entrée. Si les grandeurs d'entrée sont indépendantes, alors l'incertitude $u(x)$ sur $x$ est donnée par : + +$$u(x) = \sqrt{\left(\dfrac{df}{dz_1}u_1\right)^2+\left(\dfrac{df}{dz_2}u_2\right)^2+...+\left(\dfrac{df}{dz_n}u_n\right)^2}$$ + +**Exemple :** On cherche l'énergie cinétique (et l'incertitude associée) d'une balle de ping pong, de masse $m = 2.7 \pm 0.1 g$ et de vitesse $v = 100 \pm 2 km/h$. + +On commence par convertir les données dans le SI pour obtenir un résultat en $J$ : $m = 2.7\times 10^{-3} \pm 1\times 10^{-4} kg$, et $v = 27.8m/s \pm 0.56m/s$ + +$E_C = 1/2 m v ^2 = 1.0 J$ + +Pour le calcul de l'incertitude, on commence par calculer les dérivées partielles de $E_C$ : $\dfrac{\partial E_C}{\partial m} = \dfrac{1}{2} v^2$, et $\dfrac{\partial E_C}{\partial v} = mv$ + +On obtient pour l'incertitude totale : + +$u(E_C) = \sqrt{\left(\frac{1}{2}v^2\times\Delta m\right)^2+\left(m v\times\Delta v\right)^2} \newline = \sqrt{(\frac{1}{2}\times 27.8^2 \times 10^{-4})^2 + (2.7 \times 10^{-3}\times 27.8 \times 0.56)^2} \newline =\sqrt{1.49\times 10^{-3} + 1.77\times 10^{-3}} \newline =5.7 \times 10^{-2} J$ + +On peut donner le résultat final sous la forme : $E_C = 1,0 \pm 0.06 J$, ou bien donner une incertitude relative sur le résultat : $\frac{\Delta E_C}{E_C} = 0.06 = 6 \%$ \ No newline at end of file diff --git a/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1_EX.markdown b/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1_EX.markdown index 8d052a5..9ea4b1e 100644 --- a/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1_EX.markdown +++ b/PhysiqueMPSI/Physique_MPSI_1_EX.markdown @@ -56,8 +56,76 @@ On rappelle l'expression de l'intensité de la force gravitationnelle s'exerçan - On considère un satellite en rotation autour de la Terre selon une trajectoire circulaire de rayon $R$, et de période $T$. On considère la masse terrestre $M$. Par analyse dimensionnelle, retrouver la troisième loi de Kepler de la forme : $$\dfrac{T^{\alpha}}{R^{\beta}} = \dfrac{4 \pi^2}{G^{\gamma}M^{\delta}}$$ -![image info](https://imgs.xkcd.com/comics/greek_letters_2x.png) - ### Exercice 7 : Quantité de matière En considérant que chaque personne dans la salle est un unique atome, donner en moles la quantité de matière correspondante. En déduire la concentration en unités SI. + +## Dérivation + +### Exercice 8 : Fonction de la variable réelle + +Dériver les fonctions suivantes, on précisera l'intervalle de dérivation qui s'applique. + +| | | | +|--|--|--| +|1) $f(t)=sin(\omega t)$ | 2) $f(x)=\sqrt{2x+3}$ | 3) $f(y) = ln(4y^3 + 2)$| +|4) $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x-6}$ | 5) $f(z)=\dfrac{z}{ln(z)}$ | 6) $f(x)=exp(-2x +\alpha)$| +|7) $f(x)=e^x(x-1)-1$ | 8) $f(x)=(x^2-1)\sqrt{x}$ | 9) $f(x)=2x\sqrt{3x^2+5}$| +|10) $f(t)=(3t^2-5)^4$ | 11) $f(y)=\dfrac{1}{(2x^3-x+1)^4}$ | 12) $f(u)=e^{2u^2+1}$| +|13) $f(x)=(5x+12)^7$ | 14) $f(x)=ln(\sqrt{2x^2+10x-2})$ | 15) $f(\gamma)=\dfrac{\gamma R}{\gamma - 1}$| +|16) $f(V) = (p+\frac{n^2 a}{V^2})(V-nb)$ | 17) $f(R)=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ | 18) $f(v)=\dfrac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$| +|19) $f(t)=arccos \left( \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \right)$ | 20) $f(x)=\dfrac{arcsin(x)}{arccos(x)}$ | 21) $f(t)=arctan(2t^2+1)$| +|22) $f(t)=arctan \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)$ | 23) $f(x) = x^2 arctan (\frac{1}{x})$ | 24) $f(t) = ln(tan(\frac{t}{2}))$| +|25) $f(x) = arccos(arctan(x))$ | 26) $f(x) = \dfrac{(x+1)ln(x+1)}{4}$|| + +### Exercice 9 : Fonctions de plusieurs variables + +Donner la dérivée de ces fonctions par rapport à chacune de leurs variables. +| | | | +|--|--|--| +|1) $f(x,y)=2x + 3y$ | 2) $f(x,y)=8x^2+5y$ | 3) $f(x,y,z) = 2x^3 + y + 4 exp(z)$| +|4) $f(x,y)=2xy$ | 5) $f(x,y,z)=\dfrac{3(x+y)}{z}$ | 6) $f(x,y,z)=\dfrac{x^2 -1}{4y + z}$| +|7) $f(x,y)=xexp(yt+\beta)$ | 8) $f(L,g)=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$ | 9) $f(\rho,v,L,\eta)=\dfrac{\rho v L}{\eta}$ | +|10) $f(E,T)=\dfrac{1}{1+exp(-E/(k_B T))}$ | 11) $f(x,y,z,t)=\dfrac{x cos(2y)}{z^2t}$ | 12) $f(E,B) = \dfrac{\epsilon_0 E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}$| +|13) 13) $f(x,y)=(x-1)\sqrt[3]{x-y}$ | 14) $f(x,y,z) = xcos(xz)+ln(2-sin^2(y+z))$ | 15) $f(x,y,z) = zsin(xy)+xe^{yz}$| + +## Calcul d'incertitudes + +### Exercice 10 : Volume d'une cuillère à soupe + +Afin de déterminer le volume $V$ d'une cuillère à soupe, on réalise cinq fois la manipulation suivante : +- Remplir d'eau une cuillère à soupe +- Verser cete eau dans une éprouvette graduée de $20mL$ + +On obtient alors les valeurs suivantes : 15, 14, 16, 15, 15 mL. +1. Calculer la valeur moyenne $V_m$ de $V$ +2. Calculer l'écart-type de la série de mesure + +### Exercice 11 : Vitesses + +1. Un cycliste pédale pendant 6 heures $\pm$ 5 minutes à une vitesse moyenne de $20 \pm 0,2$ km/h. Quelle distance a-t-il parcouru? (+incertitude) +2. Une voiture parcourt la distance $d=50,0\pm0,2m$ en $t=2,86 \pm 0,02 s$. Déterminer sa vitesse moyenne (+incertitude). + +### Exercice 12 : Chute libre 1 + +La hauteur maximale atteinte par un objet lancé depuis le sol avec une vitesse $v$, dans une direction faisant un angle $\alpha$ avec l'axe horizontal, est donnée par : +$$h=\dfrac{v^2sin^2(\alpha)}{2g}$$ + +Donner l'incertitude absolue ainsi que relative sur $h$, en considérant : $\alpha = 1\pm 0.05 rad$, $g=9.81 \pm 0.01 m.s^{-2}$, $v=3 \pm 0.1 m.s^{-1}$ + +### Exercice 13 : Chute libre 2 + +Le temps de chute d'un objet uniquement soumis à son poids depuis une hauteur $h$ s'exprime : $T=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$, et sa vitesse au moment de toucher le sol : $v=\sqrt{2gh}$. +Donner l'incertitude absolue ainsi que relative sur ces deux valeurs, en considérant : $g=9,81 \pm 0,01 m.s^{-2}$, $h=42 \pm 1m$. + +### Exercice 14 : Période d'un pendule simple +La période d'un pendule simple (c'est à dire une masse ponctuelle suspendue au bout d'un fil dont la masse est négligeable) est donnée par la formule suivante : +$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ + +$T$ est la période du pendule en secondes, $L$ est la longueur du pendule, et $g$ l'accélération de pesanteur. + +On cherche à déterminer $g$ en mesurant $T$ et $L$. On mesure : $T=0,80s$ avec une précision de $0,02s$ et $L=15,0 cm$ avec une précision de $2\%$ + +1. Donner la valeur de $g$ ainsi calculée +2. Déterminer l'incertitude (absolue et relative) +3. Ce résultat est-il cohérent avec la valeur théorique de $g$ ? \ No newline at end of file