diff --git a/Maths2A/Maths_2A_01_C_Algebre.markdown b/Maths2A/Maths_2A_01_C_Algebre.markdown index 0147160..af40009 100644 --- a/Maths2A/Maths_2A_01_C_Algebre.markdown +++ b/Maths2A/Maths_2A_01_C_Algebre.markdown @@ -10,14 +10,13 @@ id: Mat2_01_C ## A. Espaces vectoriels -**Définition** : $(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel si : +**Définition :** $(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel si : - $(E,+)$ est un groupe abélien - $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda.(\mu.x) = (\lambda \times \mu).x$ et $(\lambda + \mu). x = \lambda.x + \mu.x$ - $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E^2, \lambda.(x+y) = \lambda.x + \lambda.y$ - $\forall x \in E, 1_\mathbb{K}.x = x$ -**Remarque** : Il est généralement plus simple de prouver qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d'un autre espace $E$ plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente. **Quelques espaces vectoriels usuels** : @@ -28,27 +27,35 @@ id: Mat2_01_C - $\mathbb{K}^\mathbb{N}$ l'ensemble des suites d'éléments de $\mathbb{K}$ - $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ +**Remarque :** Il est généralement plus simple de prouver qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d'un autre espace $E$ plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente. + +**Définition :** +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel et $F \subset E$. +$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si : +- $F \neq \varnothing$ +- $F$ est stable par somme et multiplication par un scalaire + ## B. Applications linéaires -**Définition** : Soit $f : E \longrightarrow F$. On dit que $f$ est linéaire lorsque : +**Définition :** Soit $f : E \longrightarrow F$. On dit que $f$ est linéaire lorsque : - $\forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda.u, v) = \lambda f(u) + f(v)$ -**Terminologie** : +**Terminologie :** - On note $\mathcal{L}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ - Si $E$ = $F$ on note $\mathcal{L}(E, E) = \mathcal{L}(E)$. Les éléments de $\mathcal{L}(E)$ sont des endomorphismes. - Un isomorphisme est une application linéaire bijective - Un automorphisme est un endomorphisme bijectif -**Propriétés** : +**Propriétés :** 1. *Restriction* : Si $f \in \mathcal{L}$, si $G$ est un SEV de $E$, et si $H$ est un SEV de $F$ tel que $f(G) \subset H$, alors $f_{/G} \in \mathcal{L}(G,H)$ 2. *Somme et multiplication* : Si $(f,g) \in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $\lambda.f + g \in \mathcal{L}(E,F)$ 3. *Composition* : Si $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$, alors $g \circ f \in \mathcal{L}(E,G)$ 4. *Bijection réciproque* : Si f est un isomorphisme de $E$ sur $F$, alors $f^{-1}$ est un isomorphisme de $F$ dans $E$ -**Définition** : Noyau et image +**Définition :** Noyau et image Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ 1. On appelle noyau de $f$ : @@ -62,13 +69,13 @@ $$ $Ker(f)$ et $Im(f)$ sont des SEV de respectivement $E$ et $F$ -**Remarque** : +**Remarque :** Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ 1. $f$ est injective $\iff Ker(f) = \{0\}$ 2. $f$ est surjective $\iff Im(f) = F$ -**Terminologie** : +**Terminologie :** Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme @@ -77,47 +84,52 @@ Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme ## C. Familles de vecteurs -**Définitions** : +**Définitions :** On considère $(x_1, x_2, ... x_p) = (x_i)_{i\in I}$ une famille de $p$ vecteurs de l'EV $E$ 1. La famille de vecteurs est libre si $\sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i = 0 \implies \forall i \in I, \lambda_i = 0$ 2. La famille de vecteurs est génératrice si $\forall x \in E, \exists (\lambda_i)_{i\in I} / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i$ 3. La famille de vecteurs est une base si elle est libre et génératrice, ou encore si $\forall x \in E, \exists !(\lambda_i)_{i\in I} / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i$ -**Remarque** : +**Définitions :** +- On dit qu'un $\mathbb{K}$ espace vectoriel $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie +- De plus, tout espace vectoriel de dimension finie (non réduit à $\{0\}$) admet au moins une base +- Toutes les bases ont le même cardinal, qu'on appelle *dimension* de $E$ + +**Remarque :** Si $E$ est un EV de dim $n$, et $(x_i)$ une famille de vecteurs de $E$, alors il y a équivalence entre les trois propositions suivantes : 1. $(x_i)$ est une base de $E$ 2. $(x_i)$ est une famille libre à $n$ éléments 3. $(x_i)$ est une famille génératrice à $n$ éléments -**Définition** : + +**Définition :** Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On appele rang de $u$ : $$ rg(u) = dim(Im(u)) $$ -**Théorème** : -Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On a alors la formule du rang : +**Théorème du rang :** +> Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On a alors la formule du rang : +> +> $$ dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u) $$ -$$ -dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u) -$$ - -**Remarque** : +**Remarque :** Que peut-on en déduire si $dim(E) = dim(F)$ ? (donc pour tout endomorphisme en dimension finie) + ## D. Produit et somme d'espaces vectoriels -**Définition**: +**Définition :** On considère $n \hspace{2mm} \mathbb{K}$-EV $E_1, ... E_n$ Le produit cartésien $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ est défini comme l'ensemble des $(x_1, x_2, ..., x_n)$ tels que $x_i \in E_i$ $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ a une structure de $\mathbb{K}$-EV et $dim(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n) = \sum\limits_{i=1}^n dim(E_i)$ -**Définition** : +**Définition :** On considère deux SEV $F$ et $G$ d'un même EV $E$. On note alors : $$ F+G = \{x+y / x\in F, y \in G\} = \{z \in E / \exists (x,y) \in F \times G, z = x+y\} @@ -125,15 +137,35 @@ $$ La somme $F+G$ est un SEV de E. -**Définition** : +**Définition :** On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont en somme directe lorsque $F \cap G = \{0\}$, dans ce cas on note $F+G = F\oplus G$ -**Définition** : +**Définition :** On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ lorsque 1. $F \cap G = \{0\}$ 2. $F+G = E$ (tout vecteur de $E$ peut s'exprimer comme une somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$) -**Théorème** : -Soient $E$ un $\mathbb{K}$-EV et $F$ et $G$ deux SEV de $E$ de $dim$ finie. -1. $F+G$ est un SEV de $E$ de $dim$ finie et $dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)$ -2. De plus si $F$ et $G$ sont en somme directe alors $dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)$ \ No newline at end of file +**Théorème :** +> Soient $E$ un $\mathbb{K}$-EV et $F$ et $G$ deux SEV de $E$ de $dim$ finie. +>1. $F+G$ est un SEV de $E$ de $dim$ finie et $dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)$ +>2. De plus si $F$ et $G$ sont en somme directe alors $dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)$ + +**Théorème : Formule de Grassman** +> Soient $F, G$ deux sev de dimension finie. +> $dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F\cap G)$ + +### Remarques supplémentaires sur les bases + +**Définition :** (rappel) On dit qu'une famille de vecteurs est une base lorsqu'elle est libre et génératrice. + +**Définition :** Soit $F$ un sev de $E$. On dit qu'une famille de vecteurs $B = (B_1, B_2)$ est une base de $E$ adaptée à $F$ lorsque $B_1$ est une base de $F$ et $B_2$ une famille de vecteurs de $E$. + +**Théorème :** Caractérisation des sev supplémentaires + +> Soient $F$ et $G$ deux sev de $E$. Les propositions suivantes sont alors équivalentes : +> 1. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ +> 2. $F + G = E$ et $F \cap G = \{0\}$ +> 3. Tout vecteur $u \in E$ se décompose de manière unique en $u = v + w$ avec $v \in F$ et $w \in G$ +> 4. L'union d'une base de $F$ avec une base de $G$ donne une base de $E$ +> +> Dans ce dernier cas, on a alors une base adaptée à la somme directe $F\oplus G$ \ No newline at end of file