From 4eeaefa8b6cb76b023fe67c0aa87081bc871a4b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Thu, 29 Aug 2024 15:29:26 +0200 Subject: [PATCH] matrices fix try diofferent syntax #11 triple buse --- Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown | 232 +------------------------ 1 file changed, 1 insertion(+), 231 deletions(-) diff --git a/Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown b/Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown index 91227cd..1d6e980 100644 --- a/Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown +++ b/Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown @@ -180,196 +180,6 @@ Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l'application de $E$ dans lui-même : $u(P) # I. Calcul matriciel -## Exercice 22 : -1. Soit $A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et en déduire une relation entre $A^2$, $A$, et $I_3$. Prouver alors que $A$ est inversible et déterminer son inverse. -2. Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3$ et répondre aux mêmes questions. - -## Exercice 23 : - -Calculer (si possible) l'inverse des matrices : - -1. $\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \e--- -layout: default -title: "Exercices : Algèbre 1 PSI" -date: 2024-07-01 12:19:36 +0200 -categories: exercises -id: Mat2_00_Ex ---- - -# A. Complexes - -## Exercice 1 : - -Résoudre dans $\mathbb{C}$ : -$$\left\{\begin{array}{lll} (1+i)z & -iu & =2+i \\ (2+i)z & +(2-i)u & = 2i \end{array}\right.$$ - -## Exercice 2 : - -Calculer $\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{2024}$ - -# B. Fonctions usuelles - -## Exercice 3 : - -Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \dfrac{e^x}{e^x+1}$ - -1. Etudier, sans calcul de dérivées, le sens de variations de $f$ -2. Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$ -3. Montrer que le point $a(0, \frac{1}{2}) est centre de symétrie de la courbe $C_f$, représentative de $f$ dans un repère orthonormé. -4. Donner une équation de la tangente $T$ en $A$ à $C_f$. -5. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente. - -## Exercice 4 : - -Soit $x$ un réel fixé, et $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer les sommes suivantes : - -$$C_n = \sum\limits_{k=1}^n ch(kx) \text{ et } S_n = \sum\limits_{k=1}^n sh(kx)$$ - -# C. Primitives - -## Exercice 5 : - -Calculer les primitives suivantes : - -1. $\int \frac{x}{1-x}dx$ -2. $\int (2x+3)(x^2+3x+5)^3dx$ -3. $\int \frac{dx}{x ln x}$ -4. $\int \frac{dx}{1-x^2}$ - -## Exercice 6 : - -Calculer les primitives suivantes par IPP : -1. $\int \ln x dx$ -2. $\int y^3e^{y^2} dy$ -3. $\int x \text{ arctan } x dx$ - -# D. Equations différentielles - -## Exercice 7 : - -Résoudre les équadiffs du premier ordre : -1. $y' +2y = x+1$ -2. $y' + y = 2e^{2x}$ -3. $y' - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$ -4. $2y'-3y = 9, y(-1) = 1$ - -## Exercice 8 : - -Résoudre les ED du 2nd ordre : -1. $y'' -2y' -3y =0$ -2. $y''-2y'+5y=0$ -3. $y'' - 2y' +y = xe^x$ - -# E. Polynômes et Fractions Rationnelles - -## Exercice 9 : - -Soit $F(X) = \frac{2X^2+7x-20}{X+2}$. Déterminer l'équation de l'asymptote oblique en $\pm \infty$, et étudier la position de la courbe de $F$ par rapport à cette droite. - -## Exercice 10 : - -Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\mathbb{R}$ : - -1. $\frac{X^5+X^4-1}{X^3-X}$ -2. $\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$ -3. $\frac{X^5-2 X^3+4 X^2-8 X+11}{X^3-3 X+2}$ -4. $\frac{3 X^4+5 X^3+11 X^2+5 X+3}{\left(X^2+X+1\right)^2(X-1)}$ - -# F. Suites numériques - -## Exercice 11 : - -Etudier la nature des suites suivantes, puis déterminer leur limite éventuelle : - -| | | -|--|--| -|1. $u_n = \frac{\sin(n)+3\cos(n^2)}{\sqrt{n}}$|2. $u_n=\frac{2 n+(-1)^n}{5 n+(-1)^{n+1}}$| -|3. $u_n=\frac{n^3+5 n}{4 n^2+\sin (n)+\ln (n)}$|4. $u_n=\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}$| -|5. $u_n=3^n e^{-3 n}$|6. $u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}$| -|7. $u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}$ | 8. $u_n=e^{-\sqrt{n}} \ln \left(1+n+e^n\right)$| -|9. $u_n=\sqrt{n} \ln \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}\right)$|| - -## Exercice 12 : - -On souhaite calculer l'intégrale $W_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx$. -1. En effectuant une double intégration par parties, établir une relation de récurrence pour $W_n$. -2. En déduire une expression explicite pour $W_n$. - -# G. Développements limités - -## Exercice 13 : - -Donner le développement limité en $0$ des fonctions : - -1. $\cos x \exp x$ à l'ordre 3 -2. $(\ln(1+x))^2$ à l'ordre 4 -3. $\frac{\sh x - x}{x^3}$ à l'ordre 6 -4. $\exp(\sin x)$ à l'ordre 4 -5. $\sin^6(x)$ à l'ordre 9 -6. $\ln(\cos x)$ à l'ordre 6 -7. $\frac{1}{\cos x}$ à l'ordre 4 -8. $\tan x$ à l'ordre 5, ou 7, ou 23 -9. $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ à l'ordre 3 -10. $\cos (x) ^{\sin x}$ à l'ordre 5 - -## Exercice 14 : - -Donner le développement limité des fonctions suivantes : - -1. $f(x) = \sqrt{x}$ en 1 à l'ordre 3 -2. $g(x) = e^{\sqrt{x}}$ en 1 à l'ordre 3 -3. $h(x) = \ln(\sin x)$ en $\frac{\pi}{3}$ à l'ordre 3 -4. $k(x) = \frac{1}{x}$ en 2 à l'ordre 3 - -## Exercice 15 : - -Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}- \cos x}{x^2}$ - -# H. Espaces vectoriels - -## Exercice 16 : - -Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des s.e.v de $\mathbb{R}^3$ ? - -1. $E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x=y=z \}$ -2. $E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x^2=yz \}$ -3. $E_3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+z=0 \}$ -4. $E_4 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+2z+1=0 \}$ - -## Exercice 17 : - -Montrer que $P_1(X) = (X-1)^2, P_2(X) = X^2, P_3(X) = (X+1)^2$ forment une base de $\mathbb{R}_2[X]$, puis donner les coordonnées de $X^2+X+1$ dans cette base. - -## Exercice 18 : - -Les applications suivantes sont-elles linéaires? -1. $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto 3 x-2$ -2. $\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) \longmapsto x \cdot x^{\prime}+y \cdot y^{\prime}$ -3. $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto f(1)$ -4. $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f \longmapsto f^{\prime}+f$ -5. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \int_0^1|f(t)| d t$ -6. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \max _{x \in[0,1]} f(x)$ -7. $\mathbb{R}_3[X] \longrightarrow \mathbb{R}_3[X], \quad P(X) \longmapsto P(X+1)-$ $P(0)$ - -## Exercice 19 : - -Soient $f, g: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow M_n(\mathbb{R})$ définies par $A \longmapsto$ $\frac{A+A^T}{2}$ et $A \longmapsto \frac{A-A^T}{2}$. Montrer que $f$ et $g$ sont des applications linéaires. Montrer que $f(A)$ est une matrice symétrique, $g(A)$ une matrice antisymétrique et que $A=f(A)+g(A)$. - -## Exercice 20 : - -1. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z) = (-x,y+z, 2z)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? Même question avec f(x,y,z) = (x-y, x+y, y). -2. Soit $f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définie par $P(X) \mapsto P''(X)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? - -## Exercice 21 : - -Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l'application de $E$ dans lui-même : $u(P) = P + (1-X)P'$ -1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$. -2. Déterminer une base de $Im(u)$ -3. Déterminer une base de $Ker(u)$ -4. Montrer que $Ker(u)$ et $Im(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$. - -# I. Calcul matriciel - ## Exercice 22 : 1. Soit $A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\1 & -1 & 1\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et en déduire une relation entre $A^2$, $A$, et $I_3$. Prouver alors que $A$ est inversible et déterminer son inverse. 2. Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\0 & -1 & 1\\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3$ et répondre aux mêmes questions. @@ -415,44 +225,4 @@ $\begin{pmatrix}0&1&2&3 \\\ 1&2&3&0 \\\ 2&3&0&1 \\\ 3&0&1&2 \end{pmatrix} \begin Montrer, sans développer, que : -$\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\\ b&1+b&b \\\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c$ - -nd{pmatrix}$ -2. $\left(1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1\right)$ -3. $$\begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\ \alpha&1&\overline\alpha\\ \alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}$$ -4. $\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}$ -5. $\begin{pmatrix} 1&1&\dots&\dots&1\\0&1&& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&&1\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$ -6. $\begin{pmatrix} 1&2&3&\dots&n \\ 0&1&2& \dots&n-1\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&1&2 \\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$ - -# J. Matrices et applications linéaires - -## Exercice 24 : -Soient $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $w_1 = (1, -2, 0), w_2 = (-1, 2, 0), w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de base : $u(e_1) = w_1, u(e_2) = w_2, u(e_3) = w_3$ -1. Donner la matrice de $u$ dans la base canonique -2. Soit $W = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Calculer $u(W)$. -3. Trouver une base de $Ker(u)$ et une base de $Im(u)$. -4. Montrer que $\mathbb{R}^3 = Ker(u) \oplus Im(u)$ -5. Déterminer $Ker(u-I_3)$ et $Im(u-I_3)$, où $I_3$ désigne l'identité de $\mathbb{R}^3$. En déduire que $u-I_3$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$ - -## Exercice 25 : - -On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\-1&2&-2\\0&3&-1\end{pmatrix}$. Donner une base de $Ker(f)$ et de $Im(f)$. - -# K. Déterminants - -## Exercice 26 : - -Calculer les déterminants des matrices suivantes, et calculer leur inverse : - -$\begin{pmatrix}7&11 \\ -8&4\end{pmatrix}$ - -$\begin{pmatrix}1&0&6\\3&4&15\\5&6&21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\3&4&5\\5&6&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\2&3&5\\4&1&3\end{pmatrix}$ - -$\begin{pmatrix}0&1&2&3 \\ 1&2&3&0 \\ 2&3&0&1 \\ 3&0&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&0 \\ 1&0&0&1 \\ 1&1&0&1 \\ 1&1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&1&2 \\ 1&3&1&3 \\ 2&1&0&6 \\ 1&1&1&7 \end{pmatrix}$ - -## Exercice 27 : - -Montrer, sans développer, que : - -$\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\ b&1+b&b \\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c$ - +$\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\\ b&1+b&b \\\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c$ \ No newline at end of file