From 8607401dbe2667e3be5fec5dc13a3abeced09809 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Wed, 28 Aug 2024 15:11:46 +0200 Subject: [PATCH] td0 content --- MathsPSI/Maths_PSI_TD_0_review.markdown | 137 +++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 135 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/MathsPSI/Maths_PSI_TD_0_review.markdown b/MathsPSI/Maths_PSI_TD_0_review.markdown index ff989ff..01a5f34 100644 --- a/MathsPSI/Maths_PSI_TD_0_review.markdown +++ b/MathsPSI/Maths_PSI_TD_0_review.markdown @@ -1,6 +1,6 @@ --- layout: default -title: "Exercices : Révisions A1" +title: "Exercices : Algèbre 1 PSI" date: 2024-07-01 12:19:36 +0200 categories: exercises id: MatEx0 @@ -86,10 +86,143 @@ Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\mathbb{R}$ : # Suites numériques -## Exercice XX : +## Exercice 11 : + +Etudier la nature des suites suivantes, pusi déterminer leur limite éventuelle : + +| | | +|--|--| +|1. $u_n = \frac{\sin(n)+3\cos(n^2)}{\sqrt{n}}$|2. $u_n=\frac{2 n+(-1)^n}{5 n+(-1)^{n+1}}$| +|3. $u_n=\frac{n^3+5 n}{4 n^2+\sin (n)+\ln (n)}$|4. $u_n=\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}$| +|5. $u_n=3^n e^{-3 n}$|6. $u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}$| +|7. $u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}$ | 8. $u_n=e^{-\sqrt{n}} \ln \left(1+n+e^n\right)$| +|9. $u_n=\sqrt{n} \ln \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}\right)$|| + +## Exercice 12 : On souhaite calculer l'intégrale $W_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx$. 1. En effectuant une double intégration par parties, établir une relation de récurrence pour $W_n$. 2. En déduire une expression explicite pour $W_n$. +# Développements limités + +## Exercice 13 : + +Donner le développement limité en $0$ des fonctions : + +1. $\cos x \exp x$ à l'ordre 3 +2. $(\ln(1+x))^2$ à l'ordre 4 +3. $\frac{\sh x - x}{x^3}$ à l'ordre 6 +4. $\exp(\sin x)$ à l'ordre 4 +5. $\sin^6(x)$ à l'ordre 9 +6. $\ln(\cos x)$ à l'ordre 6 +7. $\frac{1}{\cos x}$ à l'ordre 4 +8. $\tan x$ à l'ordre 5, ou 7, ou 23 +9. $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ à l'ordre 3 +10. $\cos (x) ^{\sin x}$ à l'ordre 5 + +## Exercice 14 : + +Donner le développement limité des fonctions suivantes : + +1. $f(x) = \sqrt{x}$ en 1 à l'ordre 3 +2. $g(x) = e^{\sqrt{x}}$ en 1 à l'ordre 3 +3. $h(x) = \ln(\sin x)$ en $\frac{\pi}{3}$ à l'ordre 3 +4. $k(x) = \frac{1}{x}$ en 2 à l'ordre 3 + +## Exercice 15 : + +Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}- \cos x}{x^2}$ + +# Espaces vectoriels + +## Exercice 16 : + +Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des s.e.v de $\mathbb{R}^3$ ? + +1. $E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x=y=z \}$ +2. $E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x^2=yz \}$ +3. $E_3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+z=0 \}$ +4. $E_4 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+2z+1=0 \}$ + +## Exercice 17 : + +Montrer que $P_1(X) = (X-1)^2, P_2(X) = X^2, P_3(X) = (X+1)^2$ forment une base de $\mathbb{R}_2[X]$, puis donner les coordonnées de $X^2+X+1$ dans cette base. + +## Exercice 18 : + +Les applications suivantes sont-elles linéaires? +1. $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto 3 x-2$ +2. $\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) \longmapsto x \cdot x^{\prime}+y \cdot y^{\prime}$ +3. $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto f(1)$ +4. $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f \longmapsto f^{\prime}+f$ +5. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \int_0^1|f(t)| d t$ +6. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \max _{x \in[0,1]} f(x)$ +7. $\mathbb{R}_3[X] \longrightarrow \mathbb{R}_3[X], \quad P(X) \longmapsto P(X+1)-$ $P(0)$ + +## Exercice 19 : + +Soient $f, g: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow M_n(\mathbb{R})$ définies par $A \longmapsto$ $\frac{A+A^T}{2}$ et $A \longmapsto \frac{A-A^T}{2}$. Montrer que $f$ et $g$ sont des applications linéaires. Montrer que $f(A)$ est une matrice symétrique, $g(A)$ une matrice antisymétrique et que $A=f(A)+g(A)$. + +## Exercice 20 : + +1. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z) = (-x,y+z, 2z). Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? Même question avec f(x,y,z) = (x-y, x+y, y). +2. Soit $f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définie par $P(X) \mapsto P''(X)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? + +## Exercice 21 : + +Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l'applciation de $E$ dans lui-même : $u(P) = P + (1-X)P'$ +1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$. +2. Déterminer une base de $Im(u)$ +3. Déterminer une base de $Ker(u)$ +4. Montrer que $Ker(u)$ et $Im(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$. + +# Calcul matriciel + +## Exercice 22 : +1. Soit $A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et en déduire une relation entre $A^2$, $A$, et $I_3$. Prouver alors que $A$ est inversible et déterminer son inverse. +2. Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3$ et répondre aux mêmes questions. + +## Exercice 23 : + +Calculer (si possible) l'inverse des matrices : + +1. $\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ +2. $\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1\end{pmatrix}$ +3. $\begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\\alpha&1&\overline\alpha\\\alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}$ +4. $\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}$ +5. $\begin{pmatrix} 1&1&\dots&\dots&1\\0&1&& &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&&1\\\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$ +6. $\begin{pmatrix} 1&2&3&\dots&n\\0&1&2& \dots&n-1\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&1&2\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$ + +# Matrices et applications linéaires + +## Exercice 24 : +Soient $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $w_1 = (1, -2, 0), w_2 = (-1, 2, 0), w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de base : $u(e_1) = w_1, u(e_2) = w_2, u(e_3) = w_3$ +1. Donner la matrice de $u$ dans la base canonique +2. Soit $W = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Calculer $u(W)$. +3. Trouver une base de $Ker(u)$ et une base de $Im(u)$. +4. Montrer que $\mathbb{R}^3 = Ker(u) \oplus Im(u)$ +5. Déterminer $Ker(u-I_3)$ et $Im(u-I_3)$, où $I_3$ désigne l'identité de $\mathbb{R}^3$. En déduire que $u-I_3$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$ + +## Exercice 25 : + +On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\-1&2&-2\\0&3&-1\end{pmatrix}$. Donner une base de $Ker(f)$ et de $Im(f)$. + +# Déterminants + +## Exercice 26 : + +Calculer les déterminants des matrices suivantes, et calculer leur inverse : + +$\begin{pmatrix}7&11\\-8&4\end{pmatrix}$ + +$\begin{pmatrix}1&0&6\\3&4&15\\5&6&21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\3&4&5\\5&6&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\2&3&5\\4&1&3\end{pmatrix}$ + +$\begin{pmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&1&2\\1&3&1&3\\2&1&0&6\\1&1&1&7\end{pmatrix}$ + +## Exercice 27 : + +Montrer, sans développer, que : + +$\begin{vmatrix} 1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\end{vmatrix} = 1+a+b+c$