From 6cbd503898bde30c0e83107aa40686e04585cd22 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Tue, 19 Nov 2024 13:43:06 +0100 Subject: [PATCH 1/4] il pleut --- Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown | 65 ++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 57 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown index 55fcbde..aef46bd 100644 --- a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown +++ b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown @@ -284,16 +284,11 @@ On peut alors justifier que: - $u_C(t=0^+) = U_0$ car la tension est continue dans un condensateur - $i(t=0^+) = 0$ car l'intensité est continue dans une bobine. De plus, $i(t) = C\frac{du_C}{dt}$ dans un condensateur, donc $\frac{du_C}{dt} (t=0^+) = 0$ -On applique cela à la fonction u_C(t) trouvée plus haut (on calcule tout d'abord $\frac{du_C}{dt}$) : +On applique cela à la fonction $u_C(t)$ trouvée plus haut (on calcule tout d'abord $\frac{du_C}{dt}$) : $\dfrac{du_C}{dt} = Ar_1\exp(r_1 t) + Br_2\exp(r_2 t)$ -$\left\{ -\begin{array}{l} - u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow A+B=U_0 \\ - \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow Ar_1+Br_2=0 -\end{array} -\right.$ +$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow A+B=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow A r_1+Br_2=0 \end{array} \right.$ Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues à résoudre, on peut par exemple procéder en faisant une combinaison linéaire de lignes : $L_2-r_2\times L_1$ : @@ -303,4 +298,58 @@ $\Leftrightarrow A(r_1-r_2) = - r_2 U_0$ $\Leftrightarrow A = \dfrac{r_2}{r_2-r_1} U_0$ -et on peut utiliser $A+B = U_0$ pour en déduire $B = \dfrac{-r_1}{r_2-r_1} U_0$ \ No newline at end of file +et on peut utiliser $A+B$ pour en déduire $B = \dfrac{-r_1}{r_2-r_1} U_0$ + +**Cas n°2 :** + +$\tau = \dfrac{2L}{R} = \dfrac{2\times1.10^{-3}}{0,1.10^3} = 20 \mu s$ +$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-3}\times10^{-9}}} = 10^6 rad.s^{-1}$ + +On peut également calculer $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} \simeq 6.3 \mu s$, afin de remarquer que $\tau << T_0$. + +*a. Solution homogène :* + +On réecrit le polynôme caractéristique : $a^2 + \dfrac{2}{\tau} a + {\omega_0}^2 = 0$, donc $\Delta = \frac{4}{\tau^2} - 4{\omega_0}^2 = 4(\frac{1}{\tau^2}-{\omega_0}^2) = -4\times 10^{12} <0$ + +On va donc se situer dans le cas du **régime pseudo-périodique**, c'est à dire un amortissement avec oscillations. La solution homogène pour la tension dans le condensateur s'exprime : + +$$u_{C,h}(t) = \alpha \exp(\frac{-t}{\tau}) \cos(\omega t + \varphi)$$ + +avec $\omega = \sqrt{{{\omega_0}^2} - \dfrac{1}{\tau^2}} \simeq 10^6 rad.s^{-1}$ + +*b. Solution particulière* + +On peut réécrire l'équation différentielle : + +$$\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{2}{\tau} \dfrac{du_C}{dt} + {\omega_0}^2 u_C(t) = 0$$ + +Lorsque les dérivées s'annulent, on obtient : $u_{C,p}(t) = 0$ + +*c. Conclusion* + +On a donc $u_C(t) = u_{C,h}(t) + u_{C,p}(t) = \alpha \exp(\frac{-t}{\tau}) \cos(\omega t + \varphi)$ + +Il nous reste à déterminer les constantes $\alpha$ et $\varphi$ grâce aux conditions initiales : + +- $u_C(0^+) = U_0$ +- $\dfrac{du_C}{dt}(0^+) = 0$ + +(mêmes justifications que dans le cas précédent) + +On applique cela à la fonction $u_C(t)$ trouvée plus haut (on calcule tout d'abord $\frac{du_C}{dt}$) : + +$\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{\alpha}{\tau}\exp(\frac{-t}{\tau})\cos(\omega t +\varphi)- \alpha \omega \exp(\frac{-t}{\tau})\sin(\omega t +\varphi)$ + +$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow \alpha \cos\varphi=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\alpha}{\tau}\cos(\varphi)- \alpha \omega \sin(\varphi)=0 \end{array} \right.$ + +Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Dans la deuxième équation, on peut simplifier par $\alpha$ afin d'obtenir une équation avec uniquement $\varphi$ : + +$-\dfrac{1}{\tau}\cos(\varphi)- \omega \sin(\varphi)=0$ + +$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{\tau}\cos(\varphi) = \omega \sin(\varphi)$ + +$\Leftrightarrow \dfrac{-1}{\tau \omega} = \tan(\varphi)$ + +d'où : $\varphi = \arctan(\dfrac{-1}{\tau \omega})$ + +Et on pourra utiliser la première équation pour en déduire : $\alpha = \dfrac{U_0}{\cos \varphi}$ \ No newline at end of file From c588d01dbce423461e6c58c029bc594d72bb2361 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Tue, 19 Nov 2024 13:47:57 +0100 Subject: [PATCH 2/4] fix ? --- Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown index aef46bd..47260d4 100644 --- a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown +++ b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown @@ -315,7 +315,7 @@ On va donc se situer dans le cas du **régime pseudo-périodique**, c'est à dir $$u_{C,h}(t) = \alpha \exp(\frac{-t}{\tau}) \cos(\omega t + \varphi)$$ -avec $\omega = \sqrt{{{\omega_0}^2} - \dfrac{1}{\tau^2}} \simeq 10^6 rad.s^{-1}$ +avec $\omega = \sqrt{ {\omega_0}^2-\dfrac{1}{\tau^2}} \simeq 10^6 rad.s^{-1}$ *b. Solution particulière* From 5dd151b4cee16f54c2a80e19459d7e9a141ffcf4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Tue, 19 Nov 2024 14:57:12 +0100 Subject: [PATCH 3/4] wesh --- Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown index 47260d4..0447114 100644 --- a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown +++ b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown @@ -340,7 +340,7 @@ On applique cela à la fonction $u_C(t)$ trouvée plus haut (on calcule tout d'a $\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{\alpha}{\tau}\exp(\frac{-t}{\tau})\cos(\omega t +\varphi)- \alpha \omega \exp(\frac{-t}{\tau})\sin(\omega t +\varphi)$ -$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow \alpha \cos\varphi=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\alpha}{\tau}\cos(\varphi)- \alpha \omega \sin(\varphi)=0 \end{array} \right.$ +$$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow \alpha \cos\varphi=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\alpha}{\tau}\cos(\varphi)- \alpha \omega \sin(\varphi)=0 \end{array} \right.$$ Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Dans la deuxième équation, on peut simplifier par $\alpha$ afin d'obtenir une équation avec uniquement $\varphi$ : From a639c95cfa0cf067a47eb792213bec6a6958378e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Vincent Date: Wed, 20 Nov 2024 13:32:33 +0100 Subject: [PATCH 4/4] wesh2 --- Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown index 0447114..57d8c7d 100644 --- a/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown +++ b/Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown @@ -288,7 +288,7 @@ On applique cela à la fonction $u_C(t)$ trouvée plus haut (on calcule tout d'a $\dfrac{du_C}{dt} = Ar_1\exp(r_1 t) + Br_2\exp(r_2 t)$ -$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow A+B=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow A r_1+Br_2=0 \end{array} \right.$ +$$\left\{\begin{array}{l} u_C(t=0^+) = U_0 \Leftrightarrow A+B=U_0 \\ \dfrac{du_C}{dt}(t=0^+) = 0 \Leftrightarrow A r_1+Br_2=0 \end{array} \right.$$ Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues à résoudre, on peut par exemple procéder en faisant une combinaison linéaire de lignes : $L_2-r_2\times L_1$ :