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default	Maths A2 - Chapitre 1 - Compléments d'Algèbre Linéaire	2024-07-01 12:19:36 +0200	courses	Mat2_01_C

1. Compléments

A. Espaces vectoriels

Définition : (E, +, .) est un \mathbb{K} espace vectoriel si :

• (E,+) est un groupe abélien
• \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda.(\mu.x) = (\lambda \times \mu).x et (\lambda + \mu). x = \lambda.x + \mu.x
• \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E^2, \lambda.(x+y) = \lambda.x + \lambda.y
• \forall x \in E, 1_\mathbb{K}.x = x

Quelques espaces vectoriels usuels :

• (\mathbb{K}, +, .)
• (\mathbb{K}^n, +, .)
• M_{m,n}(\mathbb{K}), l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans \mathbb{K}
• \mathbb{K}[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}
• \mathbb{K}^\mathbb{N} l'ensemble des suites d'éléments de \mathbb{K}
• \mathcal{L}(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F

Remarque : Il est généralement plus simple de prouver qu'un ensemble F est un sous-espace vectoriel d'un autre espace E plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente.

Définition : Soit E un \mathbb{K} espace vectoriel et F \subset E. F est un sous-espace vectoriel de E si :

• F \neq \varnothing
• F est stable par somme et multiplication par un scalaire

B. Applications linéaires

Définition : Soit f : E \longrightarrow F. On dit que f est linéaire lorsque :

• \forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda.u, v) = \lambda f(u) + f(v)

Terminologie :

• On note \mathcal{L}(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F
• Si E = F on note \mathcal{L}(E, E) = \mathcal{L}(E). Les éléments de \mathcal{L}(E) sont des endomorphismes.
• Un isomorphisme est une application linéaire bijective
• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif

Propriétés :

1. Restriction : Si f \in \mathcal{L}, si G est un SEV de E, et si H est un SEV de F tel que f(G) \subset H, alors f_{/G} \in \mathcal{L}(G,H)
2. Somme et multiplication : Si (f,g) \in \mathcal{L}(E,F) et \lambda \in \mathbb{K}, alors \lambda.f + g \in \mathcal{L}(E,F)
3. Composition : Si f \in \mathcal{L}(E,F) et g \in \mathcal{L}(F,G), alors g \circ f \in \mathcal{L}(E,G)
4. Bijection réciproque : Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f^{-1} est un isomorphisme de F dans E

Définition : Noyau et image

Soit f \in \mathcal{L}(E,F)

1. On appelle noyau de f :

Ker(f) = f^{-1} (\{0\}) = \{x \in E / f(x) = 0\}

2. On appelle image de f :

Im(f) = f(E) = \{f(x) \in F / x \in E \}

Ker(f) et Im(f) sont des SEV de respectivement E et F

Remarque :

Soit f \in \mathcal{L}(E,F)

1. f est injective \iff Ker(f) = \{0\}
2. f est surjective \iff Im(f) = F

Terminologie :

Soit f \in \mathcal{L}(E) un endomorphisme

1. f est un projecteur \iff f^2 = f
2. f est une symétrie \iff f^2 = Id_{/E}

C. Familles de vecteurs

Définitions :

On considère (x_1, x_2, ... x_p) = (x_i)_{i\in I} une famille de p vecteurs de l'EV E

1. La famille de vecteurs est libre si \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i = 0 \implies \forall i \in I, \lambda_i = 0
2. La famille de vecteurs est génératrice si \forall x \in E, \exists (\lambda_i)_{i\in I} / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i
3. La famille de vecteurs est une base si elle est libre et génératrice, ou encore si \forall x \in E, \exists !(\lambda_i), i\in I / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i

Définitions :

• On dit qu'un \mathbb{K} espace vectoriel E est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie
• De plus, tout espace vectoriel de dimension finie (non réduit à \{0\}) admet au moins une base
• Toutes les bases ont le même cardinal, qu'on appelle dimension de E

Remarque :

Si E est un EV de dim n, et (x_i) une famille de vecteurs de E, alors il y a équivalence entre les trois propositions suivantes :

1. (x_i) est une base de E
2. (x_i) est une famille libre à n éléments
3. (x_i) est une famille génératrice à n éléments

Définition :

Soient E et F deux EV, et u \in \mathcal{L}(E,F). On suppose que E est de dimension finie. On appele rang de u :

rg(u) = dim(Im(u))

Théorème du rang :

Soient E et F deux EV, et u \in \mathcal{L}(E,F). On suppose que E est de dimension finie. On a alors la formule du rang :

dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u)

Remarque : Que peut-on en déduire si dim(E) = dim(F) ? (donc pour tout endomorphisme en dimension finie)

D. Produit et somme d'espaces vectoriels

Définition : On considère $n \hspace{2mm} \mathbb{K}$-EV E_1, ... E_n Le produit cartésien E_1 \times E_2 \times ... \times E_n est défini comme l'ensemble des (x_1, x_2, ..., x_n) tels que x_i \in E_i

E_1 \times E_2 \times ... \times E_n a une structure de $\mathbb{K}$-EV et dim(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n) = \sum\limits_{i=1}^n dim(E_i)

Définition : On considère deux SEV F et G d'un même EV E. On note alors :

F+G = \{x+y / x\in F, y \in G\} = \{z \in E / \exists (x,y) \in F \times G, z = x+y\} 

La somme F+G est un SEV de E.

Définition : On dit que deux SEV F et G sont en somme directe lorsque F \cap G = \{0\}, dans ce cas on note F+G = F\oplus G

Définition : On dit que deux SEV F et G sont supplémentaires dans E lorsque

1. F \cap G = \{0\}
2. F+G = E (tout vecteur de E peut s'exprimer comme une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G)

Théorème :

Soient E un $\mathbb{K}$-EV et F et G deux SEV de E de dim finie.

1. F+G est un SEV de E de dim finie et dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)
2. De plus si F et G sont en somme directe alors dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)

Théorème : Formule de Grassman

Soient F, G deux sev de dimension finie. dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F\cap G)

Remarques supplémentaires sur les bases

Définition : (rappel) On dit qu'une famille de vecteurs est une base lorsqu'elle est libre et génératrice.

Définition : Soit F un sev de E. On dit qu'une famille de vecteurs B = (B_1, B_2) est une base de E adaptée à F lorsque B_1 est une base de F et B_2 une famille de vecteurs de E.

Théorème : Caractérisation des sev supplémentaires

Soient F et G deux sev de E. Les propositions suivantes sont alors équivalentes :

1. F et G sont supplémentaires dans E
2. F + G = E et F \cap G = \{0\}
3. Tout vecteur u \in E se décompose de manière unique en u = v + w avec v \in F et w \in G
4. L'union d'une base de F avec une base de G donne une base de E

Dans ce dernier cas, on a alors une base adaptée à la somme directe F\oplus G