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default	Maths A2 - Chapitre 1 - Exercices	2024-07-01 12:19:36 +0200	exercises	Mat2_01_EX

Chapitre 3 : Compléments d'algèbre linéaire

Sous-espaces vectoriels et familles de vecteurs

Applications linéaires

Exercice 11

Soient n \in \mathbb{N} et D l'application :

\begin{array}{rlll}
D: \mathbb{R}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}_n[X] \\
P & \longrightarrow & P^{\prime}
\end{array}

1. Vérifier que D est un automorphisme de \mathbb{R}_n[X]
2. On pose \Gamma = id_{\mathbb{R}_n[X]} + D + D^2 + ... + D^n. Montrer que \Gamma est un automorphisme.
3. Rappeler une factorisation usuelle de 1 - X^{n+1}
4. En déduire \Gamma \circ (id - D)
5. En déduire l'application réciproque de \Gamma

Corrigé :

1. D est un endomorphisme car D est linéaire, et P' \in \mathbb{R}_n[X]
2. \Gamma transforme la base canonique de \mathbb{R}_n[X] en famille libre de \mathbb{R}_n[X], de dimension n+1. On peut donc dire que \Gamma est une application linéaire (car somme d'applications linéaires), bijective, de \mathbb{R}_n[X] vers \mathbb{R}_n[X], donc \Gamma est un automorphisme.
3. (1-X^{n+1}) = (1-X) . \sum_{k=0}^n X^k TMTC
4. En réécrivant l'égalité précédente en plissant un peu les yeux, on obtient : \Gamma \circ (id - D) = (id - D^{n+1}) Il est alors important de remarquer que dans \mathbb{R}_n[X], D^{n+1} = 0. On en déduit alors que dans \mathbb{R}_n[X], \Gamma \circ (id - D) = id