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default	Maths A2 - Chapitre 2 - Séries Numériques	2024-07-01 12:19:36 +0200	courses	Mat2_02_C

Introduction

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} 1 = +\infty

1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \lim_{N \to +\infty} \sum\limits_{n=0}^{N} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \lim_{N \to +\infty} \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{N+1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2

1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n}= ?

1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + ... = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= ?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... = 0 \hspace{2mm} \text{ou} \hspace{2mm} 1 ?

Notion de convergence et de divergence

Définition :

Soit (u_n) une suite de nombres réels ou complexes.

On appelle somme partielle de rang $N$ de la série \sum_{n\geq 0} u_n la quantité :

S_N = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_N = \sum_{n=0}^N u_n

u_n est appelé le terme général de la série \sum_{n\geq 0} u_n.

Définition :

Soit (u_n) une suite de nombres réels ou complexes.

On dit que \sum_{n\geq 0} u_n, la série de terme général u_n est convergente si la suite S_N des sommes partielles est convergente.

\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^{N} u_n

Dans le cas contraire, on dit que la série \sum_{n\geq 0} u_n est divergente.

Exemple : Série arithmétique

S_N=\sum_{n=0}^N n=0+1+2+\ldots+N=\frac{N(N+1)}{2} \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty .

La série arithmétique \sum n diverge et on peut écrire \sum\limits_{n=0}^{+\infty} n=+\infty.

Exemple : Série géométrique

S_N=\sum_{n=0}^N q^n=1+q+q^2+\ldots+q^N= \begin{cases}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} & \text { si } q \neq 1 \\ N+1 & \text { sinon. }\end{cases}

Exemple : Série harmonique

S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{N} .

La fonction x\mapsto\frac{1}{x} étant décroissante sur [1; +\infty[, on peut effectuer la comparaison avec une intervalle (faire un graphique pour mieux le représenter !)

\text { pour tout } n \geq 1, \quad \frac{1}{n} \geq \int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t} \text {. }

En effectuant la somme des N premiers termes, on a :

S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \geq \sum_{n=1}^N \int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_1^2 \frac{\mathrm{d} t}{t}+\int_2^3 \frac{\mathrm{d} t}{t}+\ldots+\int_n^{N+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_1^{N+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\ln (N+1) \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty .

La série harmonique \sum\limits_{n \geq 1} \frac{1}{n} diverge.

Exemple : Une série télescopique

S_N=\sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\ldots+\frac{1}{N(N-1)}

Mais le terme général \frac{1}{n(n-1)} peut s'écrire aussi sous la forme \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} et ainsi :

S_N=\sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\underbrace{1-\frac{1}{2}}_{\text {pour } n=2}+\underbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}_{\text {pour } n=3}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}_{\text {pour } n=4}+\ldots+\underbrace{\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}}_{\text {pour } n=N}=1-\frac{1}{N} \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 1 .

La série télescopique \sum\limits_{n \geq 2} \frac{1}{n(n-1)} converge vers 1 . On peut même écrire \sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)}=1

Propriétés, et critères de convergence

Condition nécessaire, mais pas suffisante de convergence :

Si la série \sum u_n converge alors u_n tend vers 0 . Si u_n ne tend pas vers 0 , on dit que la série de terme général u_n diverge grossièrement.

• La série arithmétique \sum n diverge grossièrement.
• Par contre la série harmonique \sum \frac{1}{n} diverge bien que son terme général, \frac{1}{n} tende vers 0 . Cette condition est bien nécessaire, mais pas suffisante.

Séries à termes positifs

Définition :

Une série réelle \sum u_n est dite à termes positifs lorsque u_n\geq 0 pour tout n\in \mathbb{N}.

Convergence par domination :

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs vérifiant 0\leq u_n \leq v_n pour tout n\in \mathbb{N}.

• si \sum v_n converge alors \sum u_n converge aussi.
• si \sum u_n diverge alors \sum v_n diverge aussi.

Exemple :

\dfrac{1}{n^2} \leq \dfrac{1}{n(n-1)} pour tout n \geq 2, or \sum\limits_{n \geq 2}\dfrac{1}{n(n-1)} converge (c'est notre exemple de série télescopique), donc la série \sum\limits_{n\geq 2} \dfrac{1}{n^2} converge.

On peut rajouter le terme en n=1, la série restera convergente : \sum\limits_{n \geq 1}\dfrac{1}{n^2} converge.

Rappel sur l'équivalence de suites :

Deux suites (u_n) et (v_n) sont équivalentes et on note u_n \sim v_n si u_n-v_n est négligeable devant v_n. (c'est-à-dire si u_n - v_n = \epsilon_n v_n avec \epsilon_n \rightarrow 0)

Le plus souvent on utilise cette propriété :

Si v_n ne s'annule pas : u_n \sim v_n \Longleftrightarrow \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1

Séries équivalentes :

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs.

Si u_n \sim v_n alors \sum u_n et \sum v_n sont de même nature. (i.e. DV ou CV)

Exemples :

• \dfrac{1}{n^2+n} \sim \dfrac{1}{n^2} car \dfrac{1}{n^2+n} \div \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{n^2}{n^2+n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 et ce sont des termes positifs. Comme \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2} converge alors \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2+n} converge aussi.
• \dfrac{1}{n+\sqrt{n}} \sim \dfrac{1}{n} car \dfrac{1}{n + \sqrt{n}} \div \dfrac{1}{n} = \dfrac{n}{n+\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 et ce sont des termes positifs. Comme \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n} converge alors \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}} converge aussi.

Séries de référence

Série de Riemann : (Rien à voir avec Riz-man)

La série à termes positifs \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}} converge si et seulement si \alpha > 1.

Série géométrique :

S_N=\sum_{n=0}^N q^n=1+q+q^2+\ldots+q^N= \begin{cases}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} & \text { si } q \neq 1 \\ N+1 & \text { sinon. }\end{cases}

Dans le cas q \neq 1, la limite de S_N ne dépend que la limite de q^{N+1} pour N \rightarrow+\infty. On peut alors conclure :

• Si -1<q<1 la série \sum q^n converge vers \frac{1}{1-q} et on peut écrire \sum\limits_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}.
• Si q \geq 1 la série \sum q^n diverge : \sum\limits_{n=0}^{+\infty} q^n=+\infty.
• Si q \leq-1 la série \sum q^n diverge (il n'y a même pas de limite).

Remarque : Lorsqu'on voudra étudier la nature d'une série, on cherchera le plus souvent soit une comparaison, soit un équivalent à une série de référence. Pour tout le reste, il faudra utiliser d'autres critères.

When all else fails

Critère de d'Alembert :

Soit la série \sum u_n à termes positifs non nuls.

On suppose que \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L (L étant éventuellement +\infty).

• Si L>1 alors \sum u_n diverge \textbf{grossièrement}.
• Si L<1 alors \sum u_n converge.
• Si L=1, cas litigieux, alors on ne peut pas conclure avec cette règle.

(Toutefois, si L=1^+, alors la série est divergente.)

Remarque : C'est un critère très pratique lorsque le terme général s'exprime sous la forme de produit de facteurs dépendant de n, ou de puissances de n.

Critère de Cauchy : (hors programme ?)

Soit la série \sum u_n à termes positifs.

On suppose que \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n)^{1/n} = L (L étant éventuellement +\infty).

• Si L>1, alors \sum u_n diverge grossièrement
• Si L<1, alors \sum u_n converge
• Si L=1, cas litigieux, on fait appel à la VAR car on ne peut pas conclure avec cette règle.

Remarque : C'est un critère très pratique lorsque le terme général est à la puissance n.

Séries à termes de signe non constant

Convergence absolue

Définition : Une série \sum u_n est dite *absolument convergente* si et seulement si \sum |u_n| est une série convergente.

Propriété : Si la série \sum u_n est absolument convergente alors la série est convergente et de plus on a :

\left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|

Séries alternées

Définition : Une série réelle \sum u_n est dite \highl{alternée} si u_{n+1} et u_n sont de signe contraire.

Théorème : Critère de Leibniz

Soit \sum u_n une série à termes de signe non constant.

• Si \sum u_n est une série alternée;
• Si (\lvert u_n\rvert) est décroissante;
• Si \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0

alors la série \sum u_n est convergente.

On a, de plus, une approximation de la somme partielle \sum\limits_{n=0}^{N}u_n :

\left| \sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n - \sum\limits_{n=0}^{N}u_n \right| \leq |u_{N+1}|

Définition :

Toute série convergente sans être absolument convergente est dite semi-convergente.