feat: add linear regression analysis and visualization in Exercice 1.R

Big Data/TP2/Exercice 1.R

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+# https://github.com/BreizhHardware/TD-R/tree/main/Big%20Data/TP2
+# 1. Représenter le nuage de points {(<28><>ଵ, <20><>ଵ), … , (<28><>௡, <20><>௡)}. À partir de celui-ci, expliquer pourquoi on peut envisager l’existence d’une liaison linéaire entre Y et X.
+
+# Définition des données
+prix <- c(420, 380, 350, 400, 440, 380, 450, 420)
+ventes <- c(5.5, 6, 6.5, 6, 5, 6.5, 4.5, 5)
+
+# Création d'un dataframe
+donnees <- data.frame(prix = prix, ventes = ventes)
+
+plot(donnees$prix, donnees$ventes,
+     main = "Relation entre prix et ventes",
+     xlab = "Prix du produit",
+     ylab = "Nombre de ventes",
+     pch = 19, col = "blue")
+
+cat("On observe une tendance linéaire négative: quand le prix augmente, les ventes diminuent\n")
+
+# 2. On adopte alors le modèle de régression linéaire simple : ∀<><E28880>, <20><>௜ = β଴ + βଵ<CEB2><E0ACB5>௜ +∈௜ . Les paramètres <20><>଴ et<65><74>ଵ sont des réels inconnus. On considère la forme matricielle usuelle : Y = X<><58> + <20><> , avec β = (<28><>଴ <20><>ଵ ) . Créer dans R la matrice X associée.
+X <- cbind(1, prix)
+print(X)
+
+# 3. En posant y = ( ௧ <20><>ଵ, . . ., <20><>௡) , calculer <20><> = ൫ <20><> ௧ <20><>൯ ିଵ <20><> ௧ <20><>. Que représente b par rapport  à β ?
+Y <- matrix(ventes, ncol = 1)
+beta <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% Y
+print(beta)
+
+# 4. Vérifier que l’on a b = ( ௧ b0 ,b1 ) , avec  b1= ଵ ∑ (௫೔ି௫̅) ೙ మ ೔సభ ∑ (<28><>௜ ௡ ௜ୀଵ − <20><>̅)(<28><>௜ − <20><>ത)  b0 = <20><>ത – b1<62><31>̅.  Retrouver ces résultats numériques avec les commandes lm et coef
+x_mean <- mean(prix)
+y_mean <- mean(ventes)
+
+# Calcul manuel de b1
+numerateur <- sum((prix - x_mean) * (ventes - y_mean))
+denominateur <- sum((prix - x_mean)^2)
+b1_manuel <- numerateur / denominateur
+
+# Calcul manuel de b0
+b0_manuel <- y_mean - b1_manuel * x_mean
+
+# Affichage des coefficients manuels
+cat("b0 (manuel) =", b0_manuel, "\n")
+cat("b1 (manuel) =", b1_manuel, "\n")
+
+# Vérification avec lm()
+modele <- lm(ventes ~ prix, data = donnees)
+coef_lm <- coef(modele)
+cat("b0 (lm) =", coef_lm[1], "\n")
+cat("b1 (lm) =", coef_lm[2], "\n")
+
+# 5.  Tracer la droite de régression sur le nuage de points.
+plot(donnees$prix, donnees$ventes,
+     main = "Régression linéaire: Prix vs Ventes",
+     xlab = "Prix du produit",
+     ylab = "Nombre de ventes",
+     pch = 19, col = "blue")
+abline(modele, col = "red", lwd = 2)
+
+# Calcul des valeurs prédites
+y_pred <- predict(modele, data.frame(prix = prix))
+
+# Ajout des traits reliant les points à la droite
+for (i in 1:length(prix)) {
+  segments(prix[i], ventes[i], prix[i], y_pred[i], col = "purple", lty = 2)
+}
+
+# Ajout d'une légende
+legend("topright",
+       legend = c("Observations", "Droite de régression", "Résidus"),
+       col = c("blue", "red", "purple"),
+       pch = c(19, NA, NA),
+       lty = c(NA, 1, 2),
+       lwd = c(NA, 2, 1))
+
+# 6. Calculer "à la main" le coefficient de détermination et le coefficient de détermination  ajusté. Est-ce que le modèle de régression linéaire simple est pertinent avec les données ?
+y_pred <- X %*% beta  # Valeurs prédites
+TSS <- sum((ventes - y_mean)^2)  # Somme totale des carrés
+RSS <- sum((ventes - y_pred)^2)  # Somme des carrés des résidus
+
+R_carre <- 1 - RSS/TSS
+cat("R² =", R_carre, "\n")
+
+# Calcul du R² ajusté
+n <- length(ventes)
+p <- 1  # Nombre de variables explicatives (hors intercept)
+R_carre_ajuste <- 1 - (RSS/(n-p-1))/(TSS/(n-1))
+cat("R² ajusté =", R_carre_ajuste, "\n")
+
+# 7. Retrouver les estimations précédentes avec la commande summary.
+resume <- summary(modele)
+print(resume)