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# https://github.com/BreizhHardware/TD-R/tree/main/Big%20Data/TP2
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# 1. Représenter le nuage de points {(<28><>ଵ, <20><>ଵ), … , (<28><>, <20><>)}. À partir de celui-ci, expliquer pourquoi on peut envisager l’existence d’une liaison linéaire entre Y et X.
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# Définition des données
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prix <- c(420, 380, 350, 400, 440, 380, 450, 420)
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ventes <- c(5.5, 6, 6.5, 6, 5, 6.5, 4.5, 5)
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# Création d'un dataframe
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donnees <- data.frame(prix = prix, ventes = ventes)
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plot(donnees$prix, donnees$ventes,
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main = "Relation entre prix et ventes",
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xlab = "Prix du produit",
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ylab = "Nombre de ventes",
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pch = 19, col = "blue")
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cat("On observe une tendance linéaire négative: quand le prix augmente, les ventes diminuent\n")
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# 2. On adopte alors le modèle de régression linéaire simple : ∀<><E28880>, <20><> = β + βଵ<CEB2><E0ACB5> +∈ . Les paramètres <20><> et<65><74>ଵ sont des réels inconnus. On considère la forme matricielle usuelle : Y = X<><58> + <20><> , avec β = (<28><> <20><>ଵ ) . Créer dans R la matrice X associée.
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X <- cbind(1, prix)
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print(X)
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# 3. En posant y = ( ௧ <20><>ଵ, . . ., <20><>) , calculer <20><> = ൫ <20><> ௧ <20><>൯ ିଵ <20><> ௧ <20><>. Que représente b par rapport à β ?
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Y <- matrix(ventes, ncol = 1)
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beta <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% Y
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print(beta)
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# 4. Vérifier que l’on a b = ( ௧ b0 ,b1 ) , avec b1= ଵ ∑ (௫ି௫̅) మ సభ ∑ (<28><> ୀଵ − <20><>̅)(<28><> − <20><>ത) b0 = <20><>ത – b1<62><31>̅. Retrouver ces résultats numériques avec les commandes lm et coef
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x_mean <- mean(prix)
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y_mean <- mean(ventes)
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# Calcul manuel de b1
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numerateur <- sum((prix - x_mean) * (ventes - y_mean))
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denominateur <- sum((prix - x_mean)^2)
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b1_manuel <- numerateur / denominateur
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# Calcul manuel de b0
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b0_manuel <- y_mean - b1_manuel * x_mean
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# Affichage des coefficients manuels
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cat("b0 (manuel) =", b0_manuel, "\n")
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cat("b1 (manuel) =", b1_manuel, "\n")
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# Vérification avec lm()
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modele <- lm(ventes ~ prix, data = donnees)
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coef_lm <- coef(modele)
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cat("b0 (lm) =", coef_lm[1], "\n")
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cat("b1 (lm) =", coef_lm[2], "\n")
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# 5. Tracer la droite de régression sur le nuage de points.
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plot(donnees$prix, donnees$ventes,
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main = "Régression linéaire: Prix vs Ventes",
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xlab = "Prix du produit",
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ylab = "Nombre de ventes",
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pch = 19, col = "blue")
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abline(modele, col = "red", lwd = 2)
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# Calcul des valeurs prédites
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y_pred <- predict(modele, data.frame(prix = prix))
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# Ajout des traits reliant les points à la droite
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for (i in 1:length(prix)) {
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segments(prix[i], ventes[i], prix[i], y_pred[i], col = "purple", lty = 2)
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}
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# Ajout d'une légende
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legend("topright",
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legend = c("Observations", "Droite de régression", "Résidus"),
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col = c("blue", "red", "purple"),
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pch = c(19, NA, NA),
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lty = c(NA, 1, 2),
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lwd = c(NA, 2, 1))
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# 6. Calculer "à la main" le coefficient de détermination et le coefficient de détermination ajusté. Est-ce que le modèle de régression linéaire simple est pertinent avec les données ?
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y_pred <- X %*% beta # Valeurs prédites
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TSS <- sum((ventes - y_mean)^2) # Somme totale des carrés
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RSS <- sum((ventes - y_pred)^2) # Somme des carrés des résidus
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R_carre <- 1 - RSS/TSS
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cat("R² =", R_carre, "\n")
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# Calcul du R² ajusté
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n <- length(ventes)
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p <- 1 # Nombre de variables explicatives (hors intercept)
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R_carre_ajuste <- 1 - (RSS/(n-p-1))/(TSS/(n-1))
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cat("R² ajusté =", R_carre_ajuste, "\n")
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# 7. Retrouver les estimations précédentes avec la commande summary.
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resume <- summary(modele)
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print(resume) |