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1. Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé complet muni d'un produit scalaire.

Définitions

• Produit scalaire :

\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v_i} \quad \text{(ou une intégrale si l'espace est infini-dimensionnel)}.

- **Norme induite** :

\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}.

## Propriétés
1. **Orthogonalité** : Deux vecteurs uuu et vvv sont orthogonaux si :

\langle u, v \rangle = 0

2. **Inégalité de Cauchy-Schwarz** :

|\langle u, v \rangle| \leq |u| |v|.

3. **Théorème de projection orthogonale** :  
   Si $H$ est un sous-espace fermé, tout vecteur $x$ se décompose en :

x = x_H + x_H^\perp, \quad x_H \in H, , x_H^\perp \in H^\perp.

# 2. **Décomposition en Séries de Fourier**
## Définition
Une fonction périodique $f(x)$ de période $2π$ peut être décomposée en une série de Fourier :

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right].

## Coefficients de Fourier
- $a_0$ :
  $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \, dx$$
- $a_n$ :
  $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$$
- $b_n$ :
  $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$$
## Propriétés
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