physique FISA 02 induction + physique 1A 02 ondes

Physique1A/Physique_1A_02_C_Ondes.markdown

@@ -8,11 +8,15 @@ id: Phy1_02_C
 
 # Chapitre 2 : Ondes
 
-https://cahier-de-prepa.fr/pcsi-lalande/download?id=7
+## Qu'est-ce qu'un signal ?
 
-Interférences Veritasium : https://youtu.be/Iuv6hY6zsd0?si=dfZc7TV2DiVFtIgM&t=278
+Un signal physique correspond à l'évolution temporelle de la mesure d'une grandeur physique en un point donné de l'espace.
 
-Diffraction of water waves : https://www.youtube.com/watch?v=2TMR-EyF_ds
+$$s(x,y,z,t)$$
+
+Toute grandeur physique dépendant du temps peut donc être considérée comme un signal : température, déplacement d'un point, pression, vitesse, tension [...]
+
+On peut bien évidemment observer des signaux unidimensionnels $s(x,t)$, qui seront les principaux sujets d'étude cette année. 
 
 ## Qu'est-ce qu'une onde ?
 
@@ -76,18 +80,35 @@ On distinguera :
 
 **Et à quoi ça sert ? :** Concrètement, on utilise le plus souvent le phénomène d'interférence afin de mesurer *précisément* une distance. En effet, on peut atteindre une précision de l'ordre d'une fraction de la longueur d'onde. Et dans le cas des ondes lumineuses... ça fait une sacrée précision. 
 
-https://www.etienne-thibierge.fr/cours-2024_optique/25_modele-scalaire_poly-prof.pdf
 
 **Calcul, et explication mathématique du phénomène :**
 
-Typiquement, un détecteur présente une sensibilité *quadratique*, c'est à dire qu'il est sensible à l'amplitude de l'onde *au carré*.
+*Les calculs détaillés peuvent se trouver ici : <https://www.etienne-thibierge.fr/cours-2024_optique/25_modele-scalaire_poly-prof.pdf>*
 
-De plus, les oscillations d'une onde lumineuse sont trop rapides pour être observées directement (que ce soit par l'oeil humain ou la majorité des capteurs). On va donc généralement mesurer la moyenne temporelle de cette intensité. 
+On va parler d'interférences constructives quand les deux ondes sont en phase : c'est à dire qu'elles présentent un déphasage $\Delta \phi = 2m\pi, m\in\mathbb{Z}$
 
+On va parler d'interférences destructives quand les deux ondes sont en phase : c'est à dire qu'elles présentent un déphasage $\Delta \phi = (2m+1)\pi, m\in\mathbb{Z}$
 
+Afin de simplifier l'étude de ce phénomène, on va plutôt raisonner en termes de **différence de marche $\delta$**. Cette distance $\delta$ correspond à la différence de chemin parcouru par les deux ondes. 
 
+Si $\delta = m\lambda, m\in\mathbb{Z}$, alors les intérférences sont constructives.
 
+Si $\delta = (m+\frac{1}{2})\lambda, m\in\mathbb{Z}$, alors les intérférences sont destructives.
 
-### Diffraction
+Dans les deux cas précédents, on appelle $m$ l'**ordre d'intérférence**.
 
-Parler rapidement de l'explication physique classique (principe d'Huygens Fresnel, spherical wavelets re-emission from every point -> can be explained by interferences from these wavelets)
+**Exercices-exemples :**
+
+![image info](./img/02_C/interference_01.jpg)
+
+Un élève se place en $x=0$. Il émet une onde sonore de fréquence $f=20 Hz$ en direction des $x$ positifs. La vitesse de propagation d'une onde dans l'air est $c = 340 m.s^{-1}$. L'onde se réfléchit en $x=D$. On suppose qu'il n'y a aucune perte dûe à la propagation, ni à la réflexion. À quelle distance du mur son camarade doit-il se placer pour ne plus rien entendre ? Pour entendre du mieux possible ? 
+
+![image info](./img/02_C/interference_02.jpg)
+
+On considère deux haut-parleurs espacés de $d = 20 m$, qui émettent la même onde, cohérente, dans toutes les directions.  Un auditeur se place en $M_0(0,D)$. Que dire des interférences en ce point ? L'auditeur se place désormais en $M_1$. Que dire des interférences en ce point ? Doit-il reculer ou avancer pour observer des intérférences constructives ? Destructives ? 
+
+Application numérique : $D = 30 m$, $f = 20 Hz$, $c = 340 m.s^{-1}$
+
+### Diffraction (hors programme)
+
+Diffraction of water waves : https://www.youtube.com/watch?v=2TMR-EyF_ds

PhysiqueFISA/Physique_FISA_02_C_induction.markdown

@@ -35,7 +35,7 @@ On étudiera deux cas dans le cadre de ce cours :
 
 **Exemples :**
 
-![image info](./img/Lorentz.jpg)
+![image info](./img/Lorentz.jpeg)
 
 Dans le cas de l'induction de Lorentz, on a un circuit en mouvement dans un champ magnétique $\vec{B}$ uniforme. Dans ce cas, $\vec{B}$ est constant, mais $S$ ne l'est pas.
 
@@ -49,7 +49,7 @@ $= -B_0 \ell \dfrac{dx}{dt}$
 
 où $\ell$ est la largeur du circuit considéré.
 
-![image info](./img/Neumann.jpg)
+![image info](./img/Neumann.jpeg)
 
 Dans le cas de l'induction de Neumann, le circuit est fixe, mais le champ est variable. Dans ce cas, $S$ est constant, mais $\vec{B}$ ne l'est pas.
 
@@ -61,7 +61,7 @@ $= - S \dfrac{dB(t)}{dt}$
 
 ### Loi de Lenz
 
-![image info](./img/Lenz_meme.jpg)
+![image info](./img/Lenz_meme.jpeg)
 
 Induction $\rightarrow$ modération
 
@@ -72,4 +72,96 @@ En d'autres termes, les phénomènes d'induction tendent à atténuer leur cause
 Pour le phénomène d'induction, la cause est toujours la même : il s'agit d'une variation du flux magnétique $\Phi$.
 
 - Si cette variation de flux est dûe à une variation du champ magnétique $\vec{B}$, alors le champ magnétique induit aura tendance à atténuer ces variations de flux. 
-- Si cette variation de flux est dûe à un mouvement du circuit, alors la force de Laplace induite va avoir tendance à s'opposer au mouvement initial.
+- Si cette variation de flux est dûe à un mouvement du circuit, alors la force de Laplace induite va avoir tendance à s'opposer au mouvement initial.
+
+## Force de Laplace
+
+**Rappel :** 
+$$\vec{F_m} = q\vec{v}\wedge \vec{B}$$
+
+Comme mentionné dans le chapitre précédent, toute charge en mouvement est soumise à une interaction avec le champ magnétique. 
+
+Dans le cas de l'induction de Lorentz :
+
+- Le mouvement d'un circuit au sein d'un champ magnétique (stationnaire et uniforme) induit un courant électrique au sein de ce circuit.
+- Ce courant électrique va donc engendrer un mouvement de charge
+- Ce mouvement de charge va entraîner une interaction avec le champ magnétique, et donc une action mécanique sur le circuit
+
+> On appelle **force de Laplace** l'action mécanique exercée par un champ magnétique sur un circuit électrique parcouru par un courant. 
+
+$$ d\vec{F}_{Lap} = i\vec{d\ell}\wedge\vec{B}$$
+
+On orientera le vecteur $\vec{d\ell}$ dans le même sens que $i$ pour que l'expression soit valable. Pour obtenir l'expression de la force de Laplace totale, il faudra ensuite intégrer cette expression sur la totalité du circuit.
+
+Sur un fragment de circuit rectiligne, on pourrait écrire : $\vec{F_L} = i \vec{L}\wedge\vec{B}$ où $\vec{L}$ représente le vecteur orienté dans le sens de l'intensité, et de longueur correspondant à la longueur du segment considéré.
+
+**Remarque :** dans le cas d'un circuit fermé plongé entièrement dans un champ magnétique uniforme, $\vec{F_L} = \vec{0}$
+
+### Exercice-type : freinage magnétique
+
+On reprend le schéma : 
+
+![image info](./img/Lorentz.jpeg)
+
+On imagine que le circuit en mouvement est accroché à un véhicule, en mouvement selon la direction $x$, à une vitesse $\vec{v_0} = v_0 \vec{u_x}$. Dans l'espace $x<0$, le champ magnétique est nul, et dans l'espace $x>0$, $\vec{B} = B_0 \vec{u_z}$.
+
+On considère que le circuit présente une résistance totale $R_{int}$.
+
+On note $x_C$ l'abcisse de la branche droite du circuit. Pour $x_C<0$, il n'y a aucune interaction car $\vec{B} = \vec{0}$. Notre étude va se concentrer sur la zone : $0<x_C<L$, $L$ étant la longueur dans la direction $x$ du circuit, et $\ell$ la largeur dans la direction $y$ du circuit.
+
+1. Équation électrique :
+
+On peut calculer la force électromotrice induite via la loi de Faraday : 
+
+$e = \dfrac{-d\Phi}{dt}$
+
+$= -B_0\dfrac{dS}{dt}$
+
+$= -B_0 \ell \dfrac{dx}{dt}$
+
+Ceci a donc pour effet de créer un courant électrique induit : 
+
+$i_I = \dfrac{e}{R_{int}}$
+
+$= -\dfrac{B_0 \ell}{R_{int}} \dfrac{dx}{dt}$
+
+2. Équation mécanique :
+
+On considère que le circuit n'est soumis qu'à la force de Laplace résultante (déplacement sans frottement, poids compensé par la réaction du support ... imaginez un train magnétique japonais)
+
+On rappelle l'expression de la force de Laplace : $\vec{F_L} = i \vec{L}\wedge\vec{B}$.
+
+À un instant donné, le segment vertical a pour *'vecteur longueur'* $\ell \vec{u_y}$. Les segments horizontaux ont quant à eux pour *'vecteur longueur'* $\pm x_c \vec{u_x}$.
+
+La force de Laplace totale est donc : 
+
+$\vec{F_L} = i_I x_c \vec{u_x} \wedge \vec{B} + i_I \ell \vec{u_y} \wedge \vec{B} + i_I (-x_c) \vec{u_x} \wedge \vec{B}$
+
+Les termes 1 et 3 s'annulent !
+
+$\vec{F_L} = i_I \ell \vec{u_y} \wedge \vec{B}$
+
+$= (i_I \ell \vec{u_y}) \wedge (B_0 \vec{u_z})$
+
+$= i_I \ell B_0 \vec{u_y}\wedge\vec{u_z}$
+$= i_I \ell B_0 \vec{u_x}$
+$= -\dfrac{B_0 \ell}{R_{int}} \dfrac{dx}{dt}\ell B_0 \vec{u_x}$
+$$ \vec{F_L}= -\dfrac{B_0^2 \ell^2}{R_{int}} \dfrac{dx}{dt}\vec{u_x}$$
+
+On obtient donc une force opposée au mouvement (la loi de Lenz est vérifiée).
+
+3. Épilogue
+
+On peut appliquer le PFD au système total : 
+
+$$ m\dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\dfrac{B_0^2 \ell^2}{R_{int}} \dfrac{dx}{dt} $$
+
+(les vecteurs peuvent être simplifiés, le mouvement est purement selon l'axe $(Ox)$)
+
+Cette équation peut être ré-écrite en une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sur la vitesse en $x$ : 
+
+$$ m\dfrac{d v_x}{dt} + \dfrac{B_0^2 \ell^2}{R_{int}} v_x = 0$$ 
+
+$$\iff \dfrac{d v_x}{dt} + \dfrac{B_0^2 \ell^2}{m R_{int}} v_x = 0$$
+
+On en déduit finalement : $v_x(t) = v_0 \exp(-\frac{B_0^2 \ell^2}{m R_{int}}t)$