matrices fix try diofferent syntax #10 triple \"

Maths2A/Maths_2A_00_EX_review.markdown

@@ -188,7 +188,236 @@ Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l'application de $E$ dans lui-même : $u(P)
 
 Calculer (si possible) l'inverse des matrices : 
 
-1. $\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}$
+1. $\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \e---
+layout: default
+title:  "Exercices : Algèbre 1 PSI"
+date:   2024-07-01 12:19:36 +0200
+categories: exercises
+id: Mat2_00_Ex
+---
+
+# A. Complexes
+
+## Exercice 1 :
+
+Résoudre dans $\mathbb{C}$ : 
+$$\left\{\begin{array}{lll} (1+i)z & -iu & =2+i \\ (2+i)z & +(2-i)u & = 2i \end{array}\right.$$
+
+## Exercice 2 : 
+
+Calculer $\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{2024}$
+
+# B. Fonctions usuelles
+
+## Exercice 3 :
+
+Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \dfrac{e^x}{e^x+1}$
+
+1. Etudier, sans calcul de dérivées, le sens de variations de $f$
+2. Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$
+3. Montrer que le point $a(0, \frac{1}{2}) est centre de symétrie de la courbe $C_f$, représentative de $f$ dans un repère orthonormé. 
+4. Donner une équation de la tangente $T$ en $A$ à $C_f$.
+5. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente. 
+
+## Exercice 4 :
+
+Soit $x$ un réel fixé, et $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer les sommes suivantes :
+
+$$C_n = \sum\limits_{k=1}^n ch(kx) \text{  et  } S_n = \sum\limits_{k=1}^n sh(kx)$$
+
+# C. Primitives
+
+## Exercice 5 : 
+
+Calculer les primitives suivantes : 
+
+1. $\int \frac{x}{1-x}dx$
+2. $\int (2x+3)(x^2+3x+5)^3dx$
+3. $\int \frac{dx}{x ln x}$
+4. $\int \frac{dx}{1-x^2}$
+
+## Exercice 6 :
+
+Calculer les primitives suivantes par IPP :
+1. $\int \ln x dx$
+2. $\int y^3e^{y^2} dy$
+3. $\int x \text{ arctan } x dx$
+
+# D. Equations différentielles
+
+## Exercice 7 : 
+
+Résoudre les équadiffs du premier ordre : 
+1. $y' +2y = x+1$
+2. $y' + y = 2e^{2x}$
+3. $y' - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$
+4. $2y'-3y = 9, y(-1) = 1$
+
+## Exercice 8 : 
+
+Résoudre les ED du 2nd ordre : 
+1. $y'' -2y' -3y =0$
+2. $y''-2y'+5y=0$
+3. $y'' - 2y' +y = xe^x$
+
+# E. Polynômes et Fractions Rationnelles
+
+## Exercice 9 : 
+
+Soit $F(X) = \frac{2X^2+7x-20}{X+2}$. Déterminer l'équation de l'asymptote oblique en $\pm \infty$, et étudier la position de la courbe de $F$ par rapport à cette droite. 
+
+## Exercice 10 : 
+
+Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\mathbb{R}$ : 
+
+1. $\frac{X^5+X^4-1}{X^3-X}$
+2. $\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$
+3. $\frac{X^5-2 X^3+4 X^2-8 X+11}{X^3-3 X+2}$
+4. $\frac{3 X^4+5 X^3+11 X^2+5 X+3}{\left(X^2+X+1\right)^2(X-1)}$
+
+# F. Suites numériques
+
+## Exercice 11 : 
+
+Etudier la nature des suites suivantes, puis déterminer leur limite éventuelle : 
+
+|  |  |
+|--|--|
+|1. $u_n = \frac{\sin(n)+3\cos(n^2)}{\sqrt{n}}$|2. $u_n=\frac{2 n+(-1)^n}{5 n+(-1)^{n+1}}$| 
+|3. $u_n=\frac{n^3+5 n}{4 n^2+\sin (n)+\ln (n)}$|4. $u_n=\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}$|
+|5. $u_n=3^n e^{-3 n}$|6. $u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}$|
+|7. $u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}$ | 8. $u_n=e^{-\sqrt{n}} \ln \left(1+n+e^n\right)$|
+|9. $u_n=\sqrt{n} \ln \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}\right)$||
+
+## Exercice 12 : 
+
+On souhaite calculer l'intégrale $W_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx$.
+1. En effectuant une double intégration par parties, établir une relation de récurrence pour $W_n$.
+2. En déduire une expression explicite pour $W_n$.
+
+# G. Développements limités
+
+## Exercice 13 : 
+
+Donner le développement limité en $0$ des fonctions : 
+
+1. $\cos x \exp x$ 	à l'ordre 3
+2. $(\ln(1+x))^2$ à l'ordre 4
+3. $\frac{\sh x - x}{x^3}$ à l'ordre 6
+4. $\exp(\sin x)$ à l'ordre 4
+5. $\sin^6(x)$ à l'ordre 9
+6. $\ln(\cos x)$ à l'ordre 6
+7. $\frac{1}{\cos x}$ à l'ordre 4
+8. $\tan x$ à l'ordre 5, ou 7, ou 23
+9. $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ à l'ordre 3
+10. $\cos (x) ^{\sin x}$ à l'ordre 5
+
+## Exercice 14 : 
+
+Donner le développement limité des fonctions suivantes :
+
+1. $f(x) = \sqrt{x}$ en 1 à l'ordre 3
+2. $g(x) = e^{\sqrt{x}}$ en 1 à l'ordre 3
+3. $h(x) = \ln(\sin x)$ en $\frac{\pi}{3}$ à l'ordre 3
+4. $k(x) = \frac{1}{x}$ en 2 à l'ordre 3
+
+## Exercice 15 : 
+
+Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}- \cos x}{x^2}$
+
+# H. Espaces vectoriels
+
+## Exercice 16 : 
+
+Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des s.e.v de $\mathbb{R}^3$ ?
+
+1. $E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x=y=z \}$
+2. $E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x^2=yz \}$
+3. $E_3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+z=0 \}$
+4. $E_4 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+2z+1=0 \}$
+
+## Exercice 17 : 
+
+Montrer que $P_1(X) = (X-1)^2, P_2(X) = X^2, P_3(X) = (X+1)^2$ forment une base de $\mathbb{R}_2[X]$, puis donner les coordonnées de $X^2+X+1$ dans cette base.
+
+## Exercice 18 : 
+
+Les applications suivantes sont-elles linéaires?
+1. $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto 3 x-2$
+2. $\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) \longmapsto x \cdot x^{\prime}+y \cdot y^{\prime}$
+3. $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto f(1)$
+4. $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f \longmapsto f^{\prime}+f$
+5. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \int_0^1|f(t)| d t$
+6. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \max _{x \in[0,1]} f(x)$
+7. $\mathbb{R}_3[X] \longrightarrow \mathbb{R}_3[X], \quad P(X) \longmapsto P(X+1)-$ $P(0)$
+
+## Exercice 19 :
+
+Soient $f, g: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow M_n(\mathbb{R})$ définies par $A \longmapsto$ $\frac{A+A^T}{2}$ et $A \longmapsto \frac{A-A^T}{2}$. Montrer que $f$ et $g$ sont des applications linéaires. Montrer que $f(A)$ est une matrice symétrique, $g(A)$ une matrice antisymétrique et que $A=f(A)+g(A)$.
+
+## Exercice 20 : 
+
+1. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z) = (-x,y+z, 2z)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? Même question avec f(x,y,z) = (x-y, x+y, y).
+2. Soit $f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définie par $P(X) \mapsto P''(X)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ?
+
+## Exercice 21 : 
+
+Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l'application de $E$ dans lui-même : $u(P) = P + (1-X)P'$
+1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$.
+2. Déterminer une base de $Im(u)$
+3. Déterminer une base de $Ker(u)$
+4. Montrer que $Ker(u)$ et $Im(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
+
+# I. Calcul matriciel
+
+## Exercice 22 : 
+1. Soit $A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\1 & -1 & 1\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et en déduire une relation entre $A^2$, $A$, et $I_3$. Prouver alors que $A$ est inversible et déterminer son inverse. 
+2. Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\0 & -1 & 1\\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3$ et répondre aux mêmes questions. 
+
+## Exercice 23 : 
+
+Calculer (si possible) l'inverse des matrices : 
+
+1. $\begin{pmatrix} a&b\\\c&d\end{pmatrix}$
+2. $\begin{pmatrix} 1&2&1\\\1&2&-1\\\-2&-2&-1\end{pmatrix}$
+3. $\begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\\ \alpha&1&\overline\alpha\\\ \alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}$
+4. $\begin{pmatrix}0&1&1&1\\\1&0&1&1\\\1&1&0&1\\\1&1&1&0\end{pmatrix}$
+5. $\begin{pmatrix} 1&1&\dots&\dots&1\\\0&1&& &\vdots\\\ \vdots&\ddots&\ddots&&1\\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$
+6. $\begin{pmatrix} 1&2&3&\dots&n \\\ 0&1&2& \dots&n-1\\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\ \vdots&&\ddots&1&2 \\\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$
+
+# J. Matrices et applications linéaires
+
+## Exercice 24 : 
+Soient $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $w_1 = (1, -2, 0), w_2 = (-1, 2, 0), w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de base : $u(e_1) = w_1, u(e_2) = w_2, u(e_3) = w_3$
+1. Donner la matrice de $u$ dans la base canonique
+2. Soit $W = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Calculer $u(W)$.
+3. Trouver une base de $Ker(u)$ et une base de $Im(u)$.
+4. Montrer que $\mathbb{R}^3 = Ker(u) \oplus Im(u)$
+5. Déterminer $Ker(u-I_3)$ et $Im(u-I_3)$, où $I_3$ désigne l'identité de $\mathbb{R}^3$. En déduire que $u-I_3$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$
+
+## Exercice 25 : 
+
+On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\\-1&2&-2\\\0&3&-1\end{pmatrix}$. Donner une base de $Ker(f)$ et de $Im(f)$.
+
+# K. Déterminants
+
+## Exercice 26 : 
+
+Calculer les déterminants des matrices suivantes, et calculer leur inverse : 
+
+$\begin{pmatrix}7&11 \\\ -8&4\end{pmatrix}$
+
+$\begin{pmatrix}1&0&6\\\3&4&15\\\5&6&21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\\3&4&5\\\5&6&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\\2&3&5\\\4&1&3\end{pmatrix}$ 
+
+$\begin{pmatrix}0&1&2&3 \\\ 1&2&3&0 \\\ 2&3&0&1 \\\ 3&0&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&0 \\\ 1&0&0&1 \\\ 1&1&0&1 \\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&1&2 \\\ 1&3&1&3 \\\ 2&1&0&6 \\\ 1&1&1&7 \end{pmatrix}$ 
+
+## Exercice 27 :
+
+Montrer, sans développer, que : 
+
+$\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\\ b&1+b&b \\\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c$
+
+nd{pmatrix}$
 2. $\left(1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1\right)$
 3. $$\begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\ \alpha&1&\overline\alpha\\ \alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}$$
 4. $\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}$