cours OH

Physique1A/Physique_1A_05_C_OH.markdown

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+layout: default
+title:  "Physique A1 - Chapitre 5 - Oscillateurs électriques"
+date:   2024-07-01 12:19:36 +0200
+categories: courses
+id: Phy1_05_C
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+# Chapitre 5 : Oscillateurs électriques
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+## 1. Étude du problème de base : le circuit LC série
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+![](./img/05_C/LC_series.png)
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+On s'intéresse au circuit représenté ci-dessus. À $t=0$, on ferme l'interrupteur. On s'intéresse à la tension $u_C(t)$ pour $t>0$.
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+### A. Étude qualitative
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+On peut se demander comment va évoluer la tension du condensateur. En effet, dans un premier temps, lorsqu'on ferme l'interrupteur, la bobine va s'opposer à l'établissement du courant dans le circuit. Puis, progressivement, le courant va s'établir, et les charges vont s'accumuler sur le condensateur.
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+### B. Étude quantitative
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+On procède de la même manière que dans le chapitre précédent. 
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+**Équations caractéristiques du circuit :**
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+- Loi des mailles : $(1) : 0 = u_C(t) + u_L(t)$
+- Loi du condensateur : $(2) : i(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$
+- Loi de la bobine : $(3) : u_L(t) = L \dfrac{di}{dt}$
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+**Établissement de l'équation différentielle en $u_c(t)$ :**
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+On part de l'équation $(2) : i(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$.
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+On voudrait éliminer $i(t)$, mais on ne dispose que de l'équation $(3)$ qui contient $\frac{di}{dt}$ et non pas $i(t)$. Il va donc falloir dériver l'équation $(2)$ pour pouvoir utiliser l'équation $(3)$ !
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+$(2) \Rightarrow \dfrac{di}{dt} = C \dfrac{d^2u_C}{dt^2}$ où $\dfrac{d^2u_C}{dt^2}$ représente la dérivée seconde de $u_C(t)$.
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+Et donc en remplaçant grâce à $(3) : \dfrac{di}{dt} = \dfrac{u_L(t)}{L}$
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+$\Leftrightarrow \dfrac{u_L(t)}{L} = C \dfrac{d^2u_C}{dt^2}$
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+Et enfin en remplaçant $u_L(t)$ grâce à $(1) : u_L(t) = - u_C(t)$,
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+$\Leftrightarrow \dfrac{- u_C(t)}{L} = C \dfrac{d^2u_C}{dt^2}$
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+On remet en forme et on obtient: 
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+$\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{1}{LC} u_C(t) = 0}$
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+**Que peut-on dire de cette équation ?**
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+- Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du **second ordre** à coefficients réels constants.
+- On ne va pas pouvoir appliquer la même méthode de résolution que pour les équations différentielles du premier ordre, car notre théorème pour la solution homogène ne s'applique plus ! Pas de panique, on va en inventer un autre :)
+- On dit que cette équation différentielle est caractéristique d'un oscillateur harmonique