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Maths2A/Maths_2A_01_C_Algebre.markdown

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 layout: default
-title:  "Cours : Algèbre 1 PSI"
+title:  "Maths A2 - Chapitre 1 - Compléments d'Algèbre Linéaire"
 date:   2024-07-01 12:19:36 +0200
 categories: courses
-id: Alg1
+id: Mat2_01_C
 ---
 
 # 1. Compléments

Maths2A/Maths_2A_02_C_Series.markdown

@@ -0,0 +1,213 @@
+---
+layout: default
+title:  "Maths A2 - Chapitre 2 - Séries Numériques"
+date:   2024-07-01 12:19:36 +0200
+categories: courses
+id: Mat2_02_C
+---
+
+# Introduction
+
+$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} 1 = +\infty$
+
+$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ...  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \lim_{N \to +\infty} \sum\limits_{n=0}^{N} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \lim_{N \to +\infty} \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{N+1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2$
+
+$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ...  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n}= ?$
+
+$1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + ...  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= ?$ 
+
+$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... = 0 \hspace{2mm} \text{ou} \hspace{2mm} 1 ?$
+
+# Notion de convergence et de divergence
+
+**Définition :** 
+
+Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels ou complexes.
+
+On appelle *somme partielle de rang $N$* de la série $\sum_{n\geq 0} u_n$ la quantité : 
+
+ $$ S_N = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_N = \sum_{n=0}^N u_n $$
+
+ $u_n$ est appelé le *terme général* de la série $\sum_{n\geq 0} u_n$.
+ 
+ **Définition :**
+ 
+ Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels ou complexes.
+ 
+ On dit que $\sum_{n\geq 0} u_n$, la série de terme général $u_n$ est *convergente* si la suite $S_N$ des sommes partielles est convergente. 
+
+ $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^{N} u_n$$
+
+ Dans le cas contraire, on dit que la série $\sum_{n\geq 0} u_n$ est *divergente*.
+ 
+ **Exemple :** Série arithmétique
+ 
+ $$
+S_N=\sum_{n=0}^N n=0+1+2+\ldots+N=\frac{N(N+1)}{2} \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty .
+$$
+La série arithmétique $\sum n$ diverge et on peut écrire $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n=+\infty$.
+
+**Exemple :** Série géométrique
+
+$$
+S_N=\sum_{n=0}^N q^n=1+q+q^2+\ldots+q^N= \begin{cases}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} & \text { si } q \neq 1 \\ N+1 & \text { sinon. }\end{cases}
+$$
+
+
+**Exemple :** Série harmonique
+
+$$
+S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{N} .
+$$
+La fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ étant décroissante sur $[1; +\infty[$, on peut effectuer la comparaison avec une intervalle (faire un graphique pour mieux le représenter !)
+$$
+\text { pour tout } n \geq 1, \quad \frac{1}{n} \geq \int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t} \text {. }
+$$
+
+En effectuant la somme des $N$ premiers termes, on a :
+$$
+S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \geq \sum_{n=1}^N \int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_1^2 \frac{\mathrm{d} t}{t}+\int_2^3 \frac{\mathrm{d} t}{t}+\ldots+\int_n^{N+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_1^{N+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}=\ln (N+1) \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty .
+$$
+La série harmonique $\sum\limits_{n \geq 1} \frac{1}{n}$ diverge.
+
+**Exemple :** Une série télescopique
+
+$$
+S_N=\sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\ldots+\frac{1}{N(N-1)}
+$$
+Mais le terme général $\frac{1}{n(n-1)}$ peut s'écrire aussi sous la forme $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ et ainsi :
+$$
+S_N=\sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\underbrace{1-\frac{1}{2}}_{\text {pour } n=2}+\underbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}_{\text {pour } n=3}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}_{\text {pour } n=4}+\ldots+\underbrace{\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}}_{\text {pour } n=N}=1-\frac{1}{N} \underset{N \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 1 .
+$$
+La série télescopique $\sum\limits_{n \geq 2} \frac{1}{n(n-1)}$ converge vers 1 . On peut même écrire $\sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)}=1$
+
+# Propriétés, et critères de convergence
+
+**Condition nécessaire, mais pas suffisante de convergence :**
+
+Si la série $\sum u_n$ converge alors $u_n$ tend vers 0 .
+Si $u_n$ ne tend pas vers 0 , on dit que la série de terme général $u_n$ *diverge grossièrement*.
+
+- La série arithmétique $\sum n$ diverge grossièrement.
+- Par contre la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge bien que son terme général, $\frac{1}{n}$ tende vers 0 . Cette condition est bien nécessaire, mais pas suffisante.
+
+## Séries à termes positifs 
+
+**Définition :** 
+
+Une série réelle $\sum u_n$ est dite *à termes positifs* lorsque $u_n\geq 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
+
+**Convergence par domination :**
+
+Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes positifs vérifiant $0\leq u_n \leq v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
+- si $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge aussi.
+- si $\sum u_n$ diverge alors $\sum v_n$ diverge aussi.
+
+**Exemple :**
+
+$\dfrac{1}{n^2} \leq \dfrac{1}{n(n-1)}$ pour tout $n \geq 2$, or $\sum\limits_{n \geq 2}\dfrac{1}{n(n-1)}$ converge (c'est notre exemple de série télescopique), donc la série $\sum\limits_{n\geq 2} \dfrac{1}{n^2}$ converge. 
+
+On peut rajouter le terme en $n=1$, la série restera convergente : $\sum\limits_{n \geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ converge.
+
+**Rappel sur l'équivalence de suites :**
+
+Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont *équivalentes* et on note $u_n \sim v_n$ si $u_n-v_n$ est négligeable devant $v_n$. (c'est-à-dire si $u_n - v_n = \epsilon_n v_n$ avec $\epsilon_n \rightarrow 0$)
+
+Le plus souvent on utilise cette propriété : 
+
+Si $v_n$ ne s'annule pas : $u_n \sim v_n \Longleftrightarrow \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1$
+
+**Séries équivalentes :**
+
+Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes positifs. 
+
+Si $u_n \sim v_n$ alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. (i.e. DV ou CV)
+
+**Exemples :**
+
+- $\dfrac{1}{n^2+n} \sim \dfrac{1}{n^2}$ car $\dfrac{1}{n^2+n} \div \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{n^2}{n^2+n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ et ce sont des termes positifs.
+Comme $\sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2}$ converge alors $\sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2+n}$ converge aussi.
+- $\dfrac{1}{n+\sqrt{n}} \sim \dfrac{1}{n}$ car $\dfrac{1}{n + \sqrt{n}} \div \dfrac{1}{n} = \dfrac{n}{n+\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ et ce sont des termes positifs.
+Comme $\sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n}$ converge alors $\sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}$ converge aussi.
+
+### Séries de référence
+
+**Série de Riemann :** (Rien à voir avec Riz-man)
+
+La série à termes positifs $\sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
+
+**Série géométrique :** 
+
+$$
+S_N=\sum_{n=0}^N q^n=1+q+q^2+\ldots+q^N= \begin{cases}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} & \text { si } q \neq 1 \\ N+1 & \text { sinon. }\end{cases}
+$$
+
+Dans le cas $q \neq 1$, la limite de $S_N$ ne dépend que la limite de $q^{N+1}$ pour $N \rightarrow+\infty$. On peut alors conclure :
+
+- Si $-1<q<1$ la série $\sum q^n$ converge vers $\frac{1}{1-q}$ et on peut écrire $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}$.
+- Si $q \geq 1$ la série $\sum q^n$ diverge : $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} q^n=+\infty$.
+- Si $q \leq-1$ la série $\sum q^n$ diverge (il n'y a même pas de limite).
+
+**Remarque :** Lorsqu'on voudra étudier la nature d'une série, on cherchera le plus souvent soit une comparaison, soit un équivalent à une série de référence. Pour tout le reste, il faudra utiliser d'autres critères. 
+
+### When all else fails 
+
+**Critère de d'Alembert :**
+
+Soit la série $\sum u_n$ à termes positifs non nuls. 
+
+    On suppose que $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$ ($L$ étant éventuellement $+\infty$).
+
+- Si $L>1$ alors $\sum u_n$ diverge \textbf{grossièrement}.
+- Si $L<1$ alors $\sum u_n$ converge.
+- Si $L=1$, cas litigieux, alors on ne peut pas conclure avec cette règle. 
+        
+(Toutefois, si $L=1^+$, alors la série est divergente.) 
+
+*Remarque* :  C'est un critère très pratique lorsque le terme général s'exprime sous la forme de produit de facteurs dépendant de $n$, ou de puissances de $n$.
+
+**Critère de Cauchy :** *(hors programme ?)*
+
+Soit la série $\sum u_n$ à termes positifs.
+
+On suppose que $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n)^{1/n} = L$ ($L$ étant éventuellement $+\infty$).
+- Si $L>1$, alors $\sum u_n$ diverge grossièrement
+- Si $L<1$, alors $\sum u_n$ converge
+- Si $L=1$, cas litigieux, on fait appel à la VAR car on ne peut pas conclure avec cette règle. 
+
+*Remarque* : C'est un critère très pratique lorsque le terme général est à la puissance $n$.
+
+## Séries à termes de signe non constant
+
+### Convergence absolue
+
+**Définition :**
+Une série $\sum u_n$ est dite \*absolument convergente* si et seulement si $\sum |u_n|$ est une série convergente. 
+
+
+**Propriété :**
+    Si la série $\sum u_n$ est absolument convergente alors la série est convergente et de plus on a : 
+$$\left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|$$
+
+### Séries alternées
+
+**Définition :**
+Une série réelle $\sum u_n$ est dite \highl{alternée} si $u_{n+1}$ et $u_n$ sont de signe contraire.  
+
+
+**Théorème :** Critère de Leibniz
+
+Soit $\sum u_n$ une série à termes de signe non constant.
+- Si $\sum u_n$ est une série alternée;
+- Si $(|u_n|)$ est décroissante;
+- Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$
+
+alors la série $\sum u_n$ est convergente. 
+
+On a, de plus, une approximation de la somme partielle $\sum\limits_{n=0}^{N}u_n$ :
+    
+$$\left| \sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n - \sum\limits_{n=0}^{N}u_n \right| \leq |u_{N+1}|$$
+
+**Définition :**
+
+Toute série convergente sans être absolument convergente est dite *semi-convergente*.