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default	Exercices : Algèbre 1 PSI	2024-07-01 12:19:36 +0200	exercises	Mat2_00_Ex

A. Complexes

Exercice 1 :

Résoudre dans \mathbb{C} :

\left\{\begin{array}{lll} (1+i)z & -iu & =2+i \\ (2+i)z & +(2-i)u & = 2i \end{array}\right.

Exercice 2 :

Calculer \left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{2024}

B. Fonctions usuelles

Exercice 3 :

Soit f la fonction définie par : f(x)= \dfrac{e^x}{e^x+1}

1. Etudier, sans calcul de dérivées, le sens de variations de f
2. Déterminer les limites de f en \pm \infty
3. Montrer que le point A(0, \frac{1}{2}) est centre de symétrie de la courbe C_f, représentative de f dans un repère orthonormé.
4. Donner une équation de la tangente T en A à C_f.
5. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.

Exercice 4 :

Soit x un réel fixé, et n \in \mathbb{N}^*. Calculer les sommes suivantes :

C_n = \sum\limits_{k=1}^n ch(kx) \text{ et } S_n = \sum\limits_{k=1}^n sh(kx)

C. Primitives

Exercice 5 :

Calculer les primitives suivantes :

1. \int \frac{x}{1-x}dx
2. \int (2x+3)(x^2+3x+5)^3dx
3. \int \frac{dx}{x ln x}
4. \int \frac{dx}{1-x^2}

Exercice 6 :

Calculer les primitives suivantes par IPP :

1. \int \ln x dx
2. \int y^3e^{y^2} dy
3. \int x \text{ arctan } x dx

D. Equations différentielles

Exercice 7 :

Résoudre les équadiffs du premier ordre :

1. y' +2y = x+1
2. y' + y = 2e^{2x}
3. y' - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}
4. 2y'-3y = 9, y(-1) = 1

Exercice 8 :

Résoudre les ED du 2nd ordre :

1. y'' -2y' -3y =0
2. y''-2y'+5y=0
3. y'' - 2y' +y = xe^x

E. Polynômes et Fractions Rationnelles

Exercice 9 :

Soit F(X) = \frac{2X^2+7x-20}{X+2}. Déterminer l'équation de l'asymptote oblique en \pm \infty, et étudier la position de la courbe de F par rapport à cette droite.

Exercice 10 :

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \mathbb{R} :

1. \frac{X^5+X^4-1}{X^3-X}
2. \frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}
3. \frac{X^5-2 X^3+4 X^2-8 X+11}{X^3-3 X+2}
4. \frac{3 X^4+5 X^3+11 X^2+5 X+3}{\left(X^2+X+1\right)^2(X-1)}

F. Suites numériques

Exercice 11 :

Etudier la nature des suites suivantes, puis déterminer leur limite éventuelle :

1. u_n = \frac{\sin(n)+3\cos(n^2)}{\sqrt{n}}	2. u_n=\frac{2 n+(-1)^n}{5 n+(-1)^{n+1}}
3. u_n=\frac{n^3+5 n}{4 n^2+\sin (n)+\ln (n)}	4. u_n=\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}
5. u_n=3^n e^{-3 n}	6. u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}
7. u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}	8. u_n=e^{-\sqrt{n}} \ln \left(1+n+e^n\right)
9. u_n=\sqrt{n} \ln \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}\right)

Exercice 12 :

On souhaite calculer l'intégrale W_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx.

1. En effectuant une double intégration par parties, établir une relation de récurrence pour W_n.
2. En déduire une expression explicite pour W_n.

G. Développements limités

Exercice 13 :

Donner le développement limité en 0 des fonctions :

1. \cos x \exp x à l'ordre 3
2. (\ln(1+x))^2 à l'ordre 4
3. \frac{\sh x - x}{x^3} à l'ordre 6
4. \exp(\sin x) à l'ordre 4
5. \sin^6(x) à l'ordre 9
6. \ln(\cos x) à l'ordre 6
7. \frac{1}{\cos x} à l'ordre 4
8. \tan x à l'ordre 5, ou 7, ou 23
9. (1+x)^{\frac{1}{1+x}} à l'ordre 3
10. \cos (x) ^{\sin x} à l'ordre 5

Exercice 14 :

Donner le développement limité des fonctions suivantes :

1. f(x) = \sqrt{x} en 1 à l'ordre 3
2. g(x) = e^{\sqrt{x}} en 1 à l'ordre 3
3. h(x) = \ln(\sin x) en \frac{\pi}{3} à l'ordre 3
4. k(x) = \frac{1}{x} en 2 à l'ordre 3

Exercice 15 :

Déterminer \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}- \cos x}{x^2}

H. Espaces vectoriels

Exercice 16 :

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des s.e.v de \mathbb{R}^3 ?

1. E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x=y=z \}
2. E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x^2=yz \}
3. E_3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+z=0 \}
4. E_4 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+2z+1=0 \}

Exercice 17 :

Montrer que P_1(X) = (X-1)^2, P_2(X) = X^2, P_3(X) = (X+1)^2 forment une base de \mathbb{R}_2[X], puis donner les coordonnées de X^2+X+1 dans cette base.

Exercice 18 :

Les applications suivantes sont-elles linéaires?

1. \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto 3 x-2
2. \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) \longmapsto x \cdot x^{\prime}+y \cdot y^{\prime}
3. \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto f(1)
4. \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f \longmapsto f^{\prime}+f
5. \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \int_0^1 \|f(t)\| dt
6. \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \max_{x \in[0,1]} f(x)
7. \mathbb{R}_3[X] \longrightarrow \mathbb{R}_3[X], \quad P(X) \longmapsto P(X+1)-P(0)

Exercice 19 :

Soient f, g: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow M_n(\mathbb{R}) définies par A \longmapsto \frac{A+A^T}{2} et A \longmapsto \frac{A-A^T}{2}. Montrer que f et g sont des applications linéaires. Montrer que f(A) est une matrice symétrique, g(A) une matrice antisymétrique et que A=f(A)+g(A).

Exercice 20 :

1. Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x,y,z) = (-x,y+z, 2z). Montrer que f est une application linéaire. Calculer Ker(f) et Im(f). f admet-elle un inverse ? Même question avec f(x,y,z) = (x-y, x+y, y).
2. Soit f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X] définie par P(X) \mapsto P''(X). Montrer que f est une application linéaire. Calculer Ker(f) et Im(f). f admet-elle un inverse ?

Exercice 21 :

Soit E = \mathbb{R}_3[X]. Soit u l'application de E dans lui-même : u(P) = P + (1-X)P'

1. Montrer que u est un endomorphisme de E.
2. Déterminer une base de Im(u)
3. Déterminer une base de Ker(u)
4. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

I. Calcul matriciel

Exercice 22 :

1. Soit A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\1 & -1 & 1\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. Calculer A^2 et en déduire une relation entre A^2, A, et I_3. Prouver alors que A est inversible et déterminer son inverse.
2. Soit A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\0 & -1 & 1\\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}. Calculer A^3 et répondre aux mêmes questions.

Exercice 23 :

Calculer (si possible) l'inverse des matrices :

1. \begin{pmatrix} a&b\\\c&d\end{pmatrix}
2. \begin{pmatrix} 1&2&1\\\1&2&-1\\\-2&-2&-1\end{pmatrix}
3. \begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\\ \alpha&1&\overline\alpha\\\ \alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}
4. \begin{pmatrix}0&1&1&1\\\1&0&1&1\\\1&1&0&1\\\1&1&1&0\end{pmatrix}
5. \begin{pmatrix} 1&1&\dots&\dots&1\\\0&1&& &\vdots\\\ \vdots&\ddots&\ddots&&1\\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}
6. \begin{pmatrix} 1&2&3&\dots&n \\\ 0&1&2& \dots&n-1\\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\ \vdots&&\ddots&1&2 \\\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}

J. Matrices et applications linéaires

Exercice 24 :

Soient (e_1, e_2, e_3) la base canonique de \mathbb{R}^3, w_1 = (1, -2, 0), w_2 = (-1, 2, 0), w_3=(0,0,2) et u l'endomorphisme de \mathbb{R}^3 défini par la donnée des images des vecteurs de base : u(e_1) = w_1, u(e_2) = w_2, u(e_3) = w_3

1. Donner la matrice de u dans la base canonique
2. Soit W = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. Calculer u(W).
3. Trouver une base de Ker(u) et une base de Im(u).
4. Montrer que \mathbb{R}^3 = Ker(u) \oplus Im(u)
5. Déterminer Ker(u-I_3) et Im(u-I_3), où I_3 désigne l'identité de \mathbb{R}^3. En déduire que u-I_3 est un automorphisme de \mathbb{R}^3

Exercice 25 :

On considère l'endomorphisme f de \mathbb{R}^3 dont la matrice dans la base canonique est A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\\-1&2&-2\\\0&3&-1\end{pmatrix}. Donner une base de Ker(f) et de Im(f).

K. Déterminants

Exercice 26 :

Calculer les déterminants des matrices suivantes, et calculer leur inverse :

\begin{pmatrix}7&11 \\\ -8&4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&0&6\\\3&4&15\\\5&6&21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\\3&4&5\\\5&6&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\\2&3&5\\\4&1&3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0&1&2&3 \\\ 1&2&3&0 \\\ 2&3&0&1 \\\ 3&0&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&0 \\\ 1&0&0&1 \\\ 1&1&0&1 \\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&1&2 \\\ 1&3&1&3 \\\ 2&1&0&6 \\\ 1&1&1&7 \end{pmatrix}

Exercice 27 :

Montrer, sans développer, que :

\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\\ b&1+b&b \\\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c