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layout: default
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title: "Exercices : Algèbre 1 PSI"
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date: 2024-07-01 12:19:36 +0200
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categories: exercises
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id: AlgEx
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# Chapitre 3 : Compléments d'algèbre linéaire
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## Sous-espaces vectoriels et familles de vecteurs
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## Applications linéaires
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### Exercice 11
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Soient $n \in \mathbb{N}$ et $D$ l'application :
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$$
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\begin{array}{rlll}
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D: \mathbb{R}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}_n[X] \\
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P & \longrightarrow & P^{\prime}
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\end{array}
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$$
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1. Vérifier que $D$ est un automorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$
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2. On pose $\Gamma = id_{\mathbb{R}_n[X]} + D + D^2 + ... + D^n$. Montrer que $\Gamma$ est un automorphisme.
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3. Rappeler une factorisation usuelle de $1 - X^{n+1}$
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4. En déduire $\Gamma \circ (id - D)$
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5. En déduire l'application réciproque de $\Gamma$
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#### Corrigé :
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1. $D$ est un endomorphisme car $D$ est linéaire, et $P' \in \mathbb{R}_n[X]$
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2. $\Gamma$ transforme la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$ en famille libre de $\mathbb{R}_n[X]$, de dimension $n+1$. On peut donc dire que $\Gamma$ est une application linéaire (car somme d'applications linéaires), bijective, de $\mathbb{R}_n[X]$ vers $\mathbb{R}_n[X]$, donc $\Gamma$ est un automorphisme.
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3. $(1-X^{n+1}) = (1-X) . \sum_{k=0}^n X^k$ TMTC
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4. En réécrivant l'égalité précédente en plissant un peu les yeux, on obtient :
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$\Gamma \circ (id - D) = (id - D^{n+1})$
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Il est alors important de remarquer que dans $\mathbb{R}_n[X]$, $D^{n+1} = 0$. On en déduit alors que dans $\mathbb{R}_n[X]$, $\Gamma \circ (id - D) = id$
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