maths2A finition cours 01

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@@ -10,14 +10,13 @@ id: Mat2_01_C
 
 ## A. Espaces vectoriels
 
-**Définition** : $(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel  si :
+**Définition :** $(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel  si :
 
 - $(E,+)$ est un groupe abélien
 - $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda.(\mu.x) = (\lambda \times \mu).x$ et $(\lambda + \mu). x = \lambda.x + \mu.x$
 - $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E^2, \lambda.(x+y) = \lambda.x + \lambda.y$
 - $\forall x \in E, 1_\mathbb{K}.x = x$
 
-**Remarque** : Il est généralement plus simple de prouver qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d'un autre espace $E$ plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente.
 
 **Quelques espaces vectoriels usuels** : 
 
@@ -28,27 +27,35 @@ id: Mat2_01_C
 - $\mathbb{K}^\mathbb{N}$ l'ensemble des suites d'éléments de $\mathbb{K}$
 - $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$
 
+**Remarque :** Il est généralement plus simple de prouver qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d'un autre espace $E$ plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente.
+
+**Définition :** 
+Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel et $F \subset E$.
+$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :
+- $F \neq \varnothing$
+- $F$ est stable par somme et multiplication par un scalaire
+
 ## B. Applications linéaires
 
-**Définition** : Soit $f : E \longrightarrow F$. On dit que $f$ est linéaire lorsque : 
+**Définition :** Soit $f : E \longrightarrow F$. On dit que $f$ est linéaire lorsque : 
 
 - $\forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda.u, v) = \lambda f(u) + f(v)$
 
-**Terminologie** : 
+**Terminologie :**
 
 - On note $\mathcal{L}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$
 - Si $E$ = $F$ on note $\mathcal{L}(E, E) = \mathcal{L}(E)$. Les éléments de $\mathcal{L}(E)$ sont des endomorphismes.
 - Un isomorphisme est une application linéaire bijective
 - Un automorphisme est un endomorphisme bijectif
 
-**Propriétés** :
+**Propriétés :**
 
 1. *Restriction* : Si $f \in \mathcal{L}$, si $G$ est un SEV de $E$, et si $H$ est un SEV de $F$ tel que $f(G) \subset H$, alors $f_{/G} \in \mathcal{L}(G,H)$
 2. *Somme et multiplication* : Si $(f,g) \in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $\lambda.f + g \in \mathcal{L}(E,F)$
 3. *Composition* : Si $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$, alors $g \circ f \in \mathcal{L}(E,G)$
 4. *Bijection réciproque* : Si f est un isomorphisme de $E$ sur $F$, alors $f^{-1}$ est un isomorphisme de $F$ dans $E$
 
-**Définition** : Noyau et image
+**Définition :** Noyau et image
 
 Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$
 1. On appelle noyau de $f$ : 
@@ -62,13 +69,13 @@ $$
 
 $Ker(f)$ et $Im(f)$ sont des SEV de respectivement $E$ et $F$
 
-**Remarque** : 
+**Remarque :**
 
 Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$
 1. $f$ est injective $\iff Ker(f) = \{0\}$
 2. $f$ est surjective $\iff Im(f) = F$
 
-**Terminologie** : 
+**Terminologie :**
 
 Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme
 
@@ -77,47 +84,52 @@ Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme
 
 ## C. Familles de vecteurs
 
-**Définitions** :
+**Définitions :**
 
 On considère $(x_1, x_2, ... x_p) = (x_i)_{i\in I}$ une famille de $p$ vecteurs de l'EV $E$
 1. La famille de vecteurs est libre si $\sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i = 0 \implies \forall i \in I, \lambda_i = 0$ 
 2. La famille de vecteurs est génératrice si $\forall x \in E, \exists (\lambda_i)_{i\in I} / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i$
 3. La famille de vecteurs est une base si elle est libre et génératrice, ou encore si $\forall x \in E, \exists !(\lambda_i)_{i\in I} / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i$
 
-**Remarque** : 
+**Définitions :**
+- On dit qu'un $\mathbb{K}$ espace vectoriel $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie 
+- De plus, tout espace vectoriel de dimension finie (non réduit à $\{0\}$) admet au moins une base
+- Toutes les bases ont le même cardinal, qu'on appelle *dimension* de $E$
+
+**Remarque :**
 
 Si $E$ est un EV de dim $n$, et $(x_i)$ une famille de vecteurs de $E$, alors il y a équivalence entre les trois propositions suivantes : 
 1. $(x_i)$ est une base de $E$
 2. $(x_i)$ est une famille libre à $n$ éléments
 3. $(x_i)$ est une famille génératrice à $n$ éléments
 
-**Définition** : 
+
+**Définition :** 
 
 Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On appele rang de $u$ : 
 $$
 rg(u) = dim(Im(u))
 $$
 
-**Théorème** :
-Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On a alors la formule du rang : 
+**Théorème du rang :**
+> Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On a alors la formule du rang : 
+>
+> $$ dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u) $$
 
-$$
-dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u)
-$$
-
-**Remarque** :
+**Remarque :**
 Que peut-on en déduire si $dim(E) = dim(F)$ ? (donc pour tout endomorphisme en dimension finie)
 
+
 ## D. Produit et somme d'espaces vectoriels
 
 
-**Définition**:
+**Définition :**
 On considère $n \hspace{2mm} \mathbb{K}$-EV $E_1, ... E_n$
 Le produit cartésien $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ est défini comme l'ensemble des $(x_1, x_2, ..., x_n)$ tels que $x_i \in E_i$
 
 $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ a une structure de $\mathbb{K}$-EV et $dim(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n) = \sum\limits_{i=1}^n dim(E_i)$
 
-**Définition** : 
+**Définition :**
 On considère deux SEV $F$ et $G$ d'un même EV $E$. On note alors : 
 $$
 F+G = \{x+y / x\in F, y \in G\} = \{z \in E / \exists (x,y) \in F \times G, z = x+y\} 
@@ -125,15 +137,35 @@ $$
 
 La somme $F+G$ est un SEV de E.
 
-**Définition** :
+**Définition :**
 On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont en somme directe lorsque $F \cap G = \{0\}$, dans ce cas on note $F+G = F\oplus G$
 
-**Définition** :
+**Définition :**
 On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ lorsque 
 1. $F \cap G = \{0\}$
 2. $F+G = E$ (tout vecteur de $E$ peut s'exprimer comme une somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$)
 
-**Théorème** : 
-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-EV et $F$ et $G$ deux SEV de $E$ de $dim$ finie. 
-1. $F+G$ est un SEV de $E$ de $dim$ finie et $dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)$
-2. De plus si $F$ et $G$ sont en somme directe alors $dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)$
+**Théorème :**
+> Soient $E$ un $\mathbb{K}$-EV et $F$ et $G$ deux SEV de $E$ de $dim$ finie. 
+>1. $F+G$ est un SEV de $E$ de $dim$ finie et $dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)$
+>2. De plus si $F$ et $G$ sont en somme directe alors $dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)$
+
+**Théorème : Formule de Grassman**
+> Soient $F, G$ deux sev de dimension finie. 
+> $dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F\cap G)$
+
+### Remarques supplémentaires sur les bases
+
+**Définition :** (rappel) On dit qu'une famille de vecteurs est une base lorsqu'elle est libre et génératrice.
+
+**Définition :** Soit $F$ un sev de $E$. On dit qu'une famille de vecteurs $B = (B_1, B_2)$ est une base de $E$ adaptée à $F$ lorsque $B_1$ est une base de $F$ et $B_2$ une famille de vecteurs de $E$.
+
+**Théorème :** Caractérisation des sev supplémentaires
+
+> Soient $F$ et $G$ deux sev de $E$. Les propositions suivantes sont alors équivalentes : 
+> 1. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$
+> 2. $F + G = E$ et $F \cap G = \{0\}$
+> 3. Tout vecteur $u \in E$ se décompose de manière unique en $u = v + w$ avec $v \in F$ et $w \in G$
+> 4. L'union d'une base de $F$ avec une base de $G$ donne une base de $E$ 
+> 
+> Dans ce dernier cas, on a alors une base adaptée à la somme directe $F\oplus G$