PhyA1TD4

Physique1A/Physique_1A_04_C_RT.markdown

@@ -171,4 +171,218 @@ Une fois le calcul de la tension dans le condensateur effectué, il est assez si
 
 On obtient alors : $i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$
 
-<video autoplay="true" loop="loop" src="https://raw.githubusercontent.com/vcncolin/lefrenchmathproject/main/assets/manim/RC_series_current.mp4" width="640" height="480"></video>
+<video autoplay="true" loop="loop" src="https://raw.githubusercontent.com/vcncolin/lefrenchmathproject/main/assets/manim/RC_series_current.mp4" width="640" height="480"></video>
+
+**Remarque importante :**
+
+L'intensité dans le condensateur est nulle à $t<0$. Il y a donc une discontinuité de l'intensité dans le condensateur au moment ou la charge débute !
+
+### C. Décharge du condensateur : 
+
+On considère désormais que le condensateur est chargé, et qu'on éteint le générateur à $t=0$.
+
+On peut modéliser cette expérience par le circuit ci-dessous :
+
+![](./img/04_C/RC_series_dis.png)
+
+- À $t < 0$, on considère que le condensateur est chargé, et que l'interrupteur est ouvert $\Rightarrow u_C = E$ et $i=0$.
+- À $t=0$, on ferme l'interrupteur (le condensateur va donc commencer à se décharger)
+
+On cherche maintenant à déterminer le comportement du circuit pour $t\geq0$
+
+**Équations caractéristiques du circuit**
+
+- Loi des mailles : $(1) : 0 = u_C(t) + u_R(t)$
+- Loi d'Ohm : $(2) : u_R(t) = R.i(t)$
+- Loi du condensateur : $(3) : i(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$
+
+On va maintenant combiner ces trois équations afin d'obtenir une équation unique qui ne contient que $u_C(t)$.
+
+**Équation différentielle en $u_C(t)$**
+
+$(3) : i(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$
+
+On élimine $i(t)$ en utilisant $(2) : i(t) = \dfrac{u_R(t)}{R}$
+
+$\Leftrightarrow \dfrac{u_R(t)}{R} = C \dfrac{du_C}{dt}$
+
+On élimine $u_R(t)$ en utilisant $(1) : u_R(t) = - u_C(t)$
+
+$\Leftrightarrow \dfrac{- u_C(t)}{R} = C \dfrac{du_C}{dt}$
+
+Il ne reste qu'à remettre en forme l'équation : 
+
+$\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{du_C}{dt} +\dfrac{u_C(t)}{RC} = 0}$
+
+**Résolution de l'équation différentielle**
+
+1. Solution particulière $u_{C,p}(t)$:
+
+On cherche la solution en régime permanent. On sait que lorsque la charge du condensateur sera terminée, on aura $\frac{du_C}{dt} = 0$. L'équation devient alors : 
+$$\dfrac{1}{RC} u_{C,p}(t) = 0$$
+$$\Leftrightarrow \boxed {u_{C,p}(t) = 0}$$
+
+2. Solution homogène $u_{C,h}(t)$:
+
+*Remarque : Ici l'équation sans second membre est donc la même que l'équation de base !*
+
+On écrit l'équation dite "sans second membre", c'est à dire qu'on écrit l'équation sans les termes qui ne dépendent pas de $u_C(t)$ :
+$$\dfrac{du_{C,h}}{dt} + \dfrac{1}{RC} u_{C,h}(t) = 0$$
+
+**Théorème :** L'équation $y'(t) + a.y(t) = 0$ a pour solution : $y(t) = \alpha e^{-at}$ où $\alpha$ est une constante à déterminer. 
+
+Donc ici, on peut en déduire que $\boxed{u_{C,h}(t) = \alpha e^{-\frac{t}{RC}}}$
+
+3. Conclusion (et détermination de la constante $\alpha$) :
+
+La solution complète de l'équation différentielle est : 
+
+$$u_C(t) = u_{C,p}(t) + u_{C,h}(t) =  0 +  \alpha e^{-\frac{t}{RC}}$$
+
+Il faut déterminer $\alpha$ afin de terminer la résolution. Pour ce faire, on doit utiliser une condition intiale qui donne la valeur de $u_C(t)$ à un temps donné. Ici, on sait que $u_C(t=0) = E$.
+
+Alors, 
+$$u_C(t=0) = E$$
+$$\Leftrightarrow \alpha e^{-\frac{0}{RC}} = E$$
+$$\Leftrightarrow \alpha = E$$
+
+Et on peut donc finalement écrire que : 
+
+$$\boxed{u_{C}(t) = Ee^{-\frac{t}{RC}}}$$
+
+**Tracé de la courbe :**
+
+<video autoplay="true" loop="loop" src="https://raw.githubusercontent.com/vcncolin/lefrenchmathproject/main/assets/manim/RC_series_voltage_dis.mp4" width="640" height="480"></video>
+
+
+### D. Exercice d'application : 
+
+On considère le circuit suivant : 
+
+![](./img/04_C/RC_application.png)
+
+- À $t < 0$, on considère que le condensateur est déchargé, et que l'interrupteur est ouvert.
+- À $t=0$, on ferme l'interrupteur.
+
+1. Que vaut $u_C(t=0)$?
+2. Déterminer $u_C(t)$ pour $t>0$.
+3. Une fois le régime permanent atteint dans la situation précédente, on rouvre  l'interrupteur. On choisit comme nouvelle origine des temps cet instant. Donner la nouvelle expression de $u_C(t)$.
+
+### SOLUTION :
+
+Il est de bon usage de commencer par annoter tout le circuit : 
+
+![](./img/04_C/RC_application_annot.png)
+
+1. Le condensateur étant déchargé à $t=0$, on peut dire que $u_C(t=0)=0$. 
+
+2. On fait tout d'abord l'inventaire des équations caractéristiques du circuit : 
+
+- $(1)$ Loi des mailles : $E - u_{R_1}(t) - u_{R_2}(t) = 0$
+- $(2)$ Loi des mailles : $u_{R_2}(t) = u_C(t)$
+- $(3)$ Loi des noeuds : $i(t) = i_C(t) + i_R(t)$
+- $(4)$ Loi d'Ohm : $u_{R_1}(t) = R_1 . i(t)$
+- $(5)$ Loi d'Ohm : $u_{R_2}(t) = R_2 . i_R(t)$
+- $(6)$ Loi du condensateur : $i_{C}(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$
+
+$$(6) : i_{C}(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$$
+
+On remplace $i_C(t)$ en utilisant $(3) : i_C(t) = i(t) - i_R(t)$
+
+$$\Leftrightarrow i(t) - i_R(t) = C \dfrac{du_C}{dt}$$
+
+On remplace $i(t)$ et $i_R(t)$ en utilisant $(4, 5) : i(t) = \dfrac{u_{R_1}(t)}{R_1}, i_R(t)= \dfrac{u_{R_2}(t)}{R_2}$
+
+$$\Leftrightarrow  \dfrac{u_{R_1}(t)}{R_1} - \dfrac{u_{R_2}(t)}{R_2} = C \dfrac{du_C}{dt}$$
+
+On remplace $u_{R_1}(t)$ et $u_{R_2}(t)$  en utilisant $(1, 2) : u_{R_2}(t) = u_{C}(t), u_{R_1}(t)= E - u_{R_2}(t) = E - u_{C}(t)$
+
+$$\Leftrightarrow  \dfrac{E - u_{C}(t)}{R_1} - \dfrac{u_{C}(t)}{R_2} = C \dfrac{du_C}{dt}$$
+
+Il ne reste plus qu'à remettre l'équation en forme : 
+
+$$\Leftrightarrow  C \dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{R_1} - \dfrac{u_{C}(t)}{R_1} - \dfrac{u_{C}(t)}{R_2} $$
+
+$$\Leftrightarrow  C \dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_{C}(t)}{R_1} + \dfrac{u_{C}(t)}{R_2}= \dfrac{E}{R_1}$$
+
+$$\Leftrightarrow  C \dfrac{du_C}{dt} + R_2\dfrac{u_{C}(t)}{R_1R_2} + R_1\dfrac{u_{C}(t)}{R_1R_2}= \dfrac{E}{R_1}$$
+
+$$\Leftrightarrow  C \dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}u_C(t)= \dfrac{E}{R_1}$$
+
+$$\Leftrightarrow  \boxed{\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2C}u_C(t)= \dfrac{E}{R_1C}}$$
+
+On peut alors résoudre l'équation différentielle : 
+
+- Solution particulière : $\dfrac{du_C}{dt} = 0$
+
+$$\Leftrightarrow  \dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2C}u_{C,p}(t)= \dfrac{E}{R_1C}$$
+
+$$\Leftrightarrow  u_{C,p}(t)= \dfrac{E}{\cancel{R_1C}}.\dfrac{\cancel{R_1}R_2\cancel{C}}{R_1+R_2}$$
+
+$$\Leftrightarrow  \boxed{u_{C,p}(t)= \dfrac{ER_2}{R_1+R_2}}$$
+
+- Solution homogène :
+
+$$\dfrac{du_{C,h}}{dt} + \dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2C}u_{C,h}(t)= 0$$
+
+D'après le théorème, on a alors : $\boxed{u_{C,h}(t) = \alpha \exp\left(\dfrac{-(R_1+R_2)t}{R_1R_2C}\right)}$
+
+- Conclusion :
+
+$$u_C(t) = u_{C,p}(t) + u_{C,h}(t) = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} + \alpha \exp\left(\dfrac{-(R_1+R_2)t}{R_1R_2C}\right)$$
+
+On détermine $\alpha$ grâce à la condition initiale $u_C(t=0)=0$ : 
+
+$$u_C(t=0) = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} + \alpha \exp\left(\dfrac{-(R_1+R_2).0}{R_1R_2C}\right) = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} + \alpha .1 = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \alpha = - \dfrac{ER_2}{R_1+R_2}$$
+
+Et on en déduit finalement : 
+
+$$\boxed{u_C(t) = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2}\left(1 - \exp\left(\dfrac{-(R_1+R_2).t}{R_1R_2C}\right)\right)}$$
+
+Dans ces cas là, il peut être utile de poser $\tau = \dfrac{R_1R_2C}{R_1+R_2}$ afin de simplifier l'écriture de l'équation : 
+
+$$\boxed{u_C(t) = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2}\left(1 - \exp\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)\right)}$$
+
+3. Lorsqu'on rouvre l'interrupteur : 
+- Le circuit redevient un simple circuit RC série
+- La condition initiale devient le régime permanent de l'étude précédente, donc $u_C(t=0) = \frac{ER_2}{R_1+R_2}$
+
+L'équation différentielle est alors la même que celle du cours : 
+
+$\boxed{\dfrac{du_C}{dt} +\dfrac{u_C(t)}{R_1C} = \dfrac{E}{R_1C}}$
+
+**Résolution :**
+
+- Solution particulière :
+
+$$\dfrac{1}{R_1C} u_{C,p}(t) = \dfrac{E}{R_1C}$$
+$$\Leftrightarrow \boxed {u_{C,p}(t) = E}$$
+
+- Solution homogène :
+
+$$\dfrac{du_{C,h}}{dt} + \dfrac{1}{R_1C} u_{C,h}(t) = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \boxed{u_{C,h}(t) = \alpha e^{-\frac{t}{R_1C}}}$$
+
+- Conclusion (et détermination de la constante $\alpha$) :
+
+La solution complète de l'équation différentielle est : 
+
+$$u_C(t) = u_{C,p}(t) + u_{C,h}(t) =  E  +  \alpha e^{-\frac{t}{R_1C}}$$
+
+Or, 
+$$u_C(t=0) = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} $$
+$$\Leftrightarrow E + \alpha e^{-\frac{0}{R_1C}} = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2}$$
+$$\Leftrightarrow \alpha = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} - E$$
+$$\Leftrightarrow \alpha = \dfrac{ER_2}{R_1+R_2} - E\dfrac{R_1 + R_2}{R_1+R_2}$$
+$$\Leftrightarrow \alpha = -\dfrac{ER_1}{R_1+R_2}$$
+
+Et on peut donc finalement écrire que : 
+
+$$\boxed{u_{C}(t) = E -\dfrac{ER_1}{R_1+R_2}e^{-\frac{t}{R_1C}}}$$

Physique1A/Physique_1A_04_EX.markdown

@@ -8,4 +8,71 @@ id: Phy1_04_EX
 
 # Chapitre 4 : Régimes Transitoires - EXERCICES
 
-![](./img/03_EX/Ex8_IMDEA.png)
+## Exercice 1 : 
+
+![](./img/04_EX/cap_03.png)
+
+On considère le montage ci-dessus. Initialement, le condensateur est déchargé, le générateur est éteint, et l'interrupteur est ouvert. 
+
+1. L'interrupteur reste ouvert, et on allume le générateur. Déterminer $u(t)$, et préciser la constante de temps de ce circuit. 
+2. On suppose que le régime permanent de la question précédente est atteint depuis longtemps, et on ferme l'interrupteur. On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps. Donner l'équation différentielle alors vérifiée par $u(t)$, et la résoudre. 
+3. Tracer la courbe de l'évolution de $u_C(t)$ sur les deux phases. 
+4. Effectuer un bilan de puissance sur les deux phases. 
+
+## Exercice 2 :
+
+![](./img/04_EX/cap_05.png)
+
+On considère le montage ci-dessus. Initialement, les deux condensateurs sont déchargés,  et les interrupteurs $K_1$ et $K_2$ sont ouverts.
+
+1. L'interrupteur $K_2$ restant ouvert, on ferme $K_1$ pendant un temps assez long pour les tensions sur les condensateurs $C_1$ et $C_2$ deviennent constantes en fonction du temps. Déterminer les valeurs de ces tensions lorsqu'elles sont devenues constantes. 
+2. On ferme l'interrupteur $K_2$. Déterminer les nouvelles valeurs de la tension dans chacun des condensateurs lorsqu'elles sont devenues constantes. Quel est le temps nécessaire pour que cela se produise ? 
+
+## Exercice 3 : 
+
+On relie à une résistance $R$ deux condensateurs de capacité $C_1$ et $C_2$ initialement chargés. À $t=0$, on ferme l'interrupteur. Pour $t<0$, on a $u_1(t<0) = U_{01}$ et $u_2(t<0) = U_{02}<U_{01}$  
+
+![](./img/04_EX/cap_06.png)
+
+1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par le courant $i(t)$ puis la résoudre. 
+2. En déduire $u_1(t)$ et $u_2(t)$.
+3. Représenter sur un graphique $u_1(t)$, $u_2(t)$, et $u_R(t)$.
+4. Déterminer $u_1(t\to\infty)$ et $u_2(t\to\infty)$ 
+5. Calculer la variation d'énergie stockée dans chaque condensateur et l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. Commenter. 
+
+*Données :* $C_1 = 1\mu F$, $C_2 = 2\mu F$, $U_{01} = 50 V$, $U_{02} = 30 V$, $R = 1 k \Omega$
+
+## Exercice 4 : 
+
+![](./img/04_EX/bob_04.png)
+
+Dans le circuit ci-dessus, les interrupteurs $K_1$ et $K_2$ sont ouverts depuis un très long temps. 
+
+À $t=0$, on ferme l'interrupteur $K_1$. 
+
+1. Calculer l'expression du courant qui circule dans la bobine. 
+2. On considère que le régime permanent est atteint depuis longtemps, puis on ferme $K_2$ en même temps qu'on ouvre $K_1$. On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps. Donner l'expression du courant qui circule dans la bobine. 
+3. Que se passe-t-il si on réduit le temps entre les manipulations d'interrupteurs?
+
+## Exercice 5 : 
+
+![](./img/04_EX/bob_05.png)
+
+Le circuit ci-dessus est alimenté par un générateur idéal de tension continue, et délivre une tension $E$. À l'instant $t=0$, on allume ce générateur. 
+
+1. Le courant dans la bobine est-il continu en $t=0$ ? En déduire $i(t=0^+)$
+2. Déterminer le comportement de $i(t\to\infty)$.
+3. Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par le courant circulant dans la bobine. 
+4. Exprimer en fonction de $L$ et $R$ le temps $t_1$ au bout duquel le courant dans la bobine atteint $90\%$ de sa valeur maximale. 
+5. Une fois le régime permanent atteint, on éteint le générateur et on choisit comme nouvelle origine des temps cet instant. Donner la nouvelle expression du courant dans la bobine. 
+6. Réaliser un bilan de puissance sur les deux phases. 
+
+## Exercice 6 : 
+
+![](./img/04_EX/bob_06.png)
+
+On considère le montage ci-dessus. À $t=0$, on ferme l'interrupteur. La lampe se comporte comme une résistance de valeur $4R$. 
+
+1. Donner $i_L(0^+)$, et $i_L(t\to\infty)$.
+2. Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par $i_L(t)$. En déduire $i_D(t)$.
+3. La lampe ne s'allume que pour $|i_D|> E/8R$. Quel est son rôle ?